2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обобщение микстурных чисел
Сообщение11.08.2018, 23:50 
Аватара пользователя


01/12/11
7263
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
А вот и обещанное продолжение.

Натуральное число назовём $n-$микстурным, если оно равно сумме квадратов
$n$ своих различных натуральных делителей. (К делителям числа причисляются
также единица и само число).

Докажите, что для каждого натурального $n$ существует бесконечно много $n$-микстурных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение микстурных чисел
Сообщение12.08.2018, 01:13 
Заслуженный участник


23/07/08
7662
Харьков
Ktina в сообщении #1331842 писал(а):
если оно равно сумме квадратов $n$ своих различных натуральных делителей
Требуется ли здесь, чтобы это были все делители числа, или это какие-то $n$ чисел из множества всех делителей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение микстурных чисел
Сообщение12.08.2018, 01:18 
Аватара пользователя


01/12/11
7263
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
svv в сообщении #1331861 писал(а):
Ktina в сообщении #1331842 писал(а):
если оно равно сумме квадратов $n$ своих различных натуральных делителей
Требуется ли здесь, чтобы это были все делители числа, или это какие-то $n$ чисел из множества всех делителей?

Изначально не требовалось (тогда задача становится нетрудной), но можно разбить задачу на два пункта, тогда второй будет потяжелее, если вообще не открытой проблемой.

-- 12.08.2018, 01:18 --

Ой, какую ерунду я пишу! Если делитель больше корня из числа, то его квадрат уже больше самого числа!

-- 12.08.2018, 01:20 --

Не говоря уже о том, что и само число является делителем себя самоё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение микстурных чисел
Сообщение12.08.2018, 01:20 
Заслуженный участник


23/07/08
7662
Харьков
Ой, какую ерунду я спрашиваю! :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение микстурных чисел
Сообщение12.08.2018, 01:25 
Аватара пользователя


07/01/16
542
Кажется, это можно доказать по индукции, попробую сделать набросок, вместо строгого доказательства:
1. Любое $m^2$ - $1$-микстурное;
2. Если $m=3\cdot4\cdot5\cdot s$, то $m^2$ будет и $2$-микстурным: $(3\cdot4\cdot5\cdot s)^2=(3\cdot3\cdot4\cdot s)^2+(3\cdot4\cdot4\cdot s)^2$ (подойдет любая Пифагорова тройка)
3. Далее, если $s=3\cdot4\cdot5\cdot t$, мы можем получить бесконечное семейство $3$-микстурных чисел, разложив первое (или второе) слагаемое из (2) в сумму двух квадратов аналогичным образом.
4. Как бы...и так далее! Получается, $3^{2n}\cdot4^{2n}\cdot5^{2n}$ - $(n+1)$-микстурно, ну и домножение на квадрат произвольного натурального дает бесконечное семейство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение микстурных чисел
Сообщение12.08.2018, 01:37 
Аватара пользователя


01/12/11
7263
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
waxtep
Ну как бы да.
А можно ещё одним способом.
$$2^2+4^2=20;\quad 2^2+4^2+20^2=420;\quad 2^2+4^2+20^2+420^2\dots$$
Ну и так далее...
То есть, для каждого $n$ мы нашли микстурное число.

-- 12.08.2018, 01:39 --

А то, что бесконечно много при каждом из $n$, это уже совсем легко. Если есть одно, то их бесконечно много, ибо если $k$ - микстурное, то и $4k$ - тоже!

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение микстурных чисел
Сообщение12.08.2018, 01:53 


05/09/16
4315
Число 720 является 2,3,4,5,6,7,8,9,10-микстурным :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение микстурных чисел
Сообщение12.08.2018, 09:53 
Аватара пользователя


01/12/11
7263
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
wrest в сообщении #1331869 писал(а):
Число 720 является 2,3,4,5,6,7,8,9,10-микстурным :shock:

К тому же, оно ещё и факториал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение микстурных чисел
Сообщение12.08.2018, 11:08 
Аватара пользователя


11/06/12
8335
Минск
Вы только дуэль не устраивайте за право на нём жениться ;-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group