Движение в статическом гравитационном поле

[В. Войтик]

Рассейте пожалуйста моё недоумение.
Пусть частица покоится. Тогда для пространственной координаты $\alpha$
$\frac{du_\alpha}{ds}=\Gamma_{\alpha,ik}u^{i}u^{k}$.
В том случае, если частица покоится ($v_{\alpha}=0$) из всех слагаемых суммы в правой части формулы остаётся только член с $i=k=0$. Из определения символа Кристоффеля ясно, что
$\Gamma_{\alpha,00}=\frac{1}{2}\left(2\frac{\partial g_{\alpha 0}}{\partial x^0}-\frac{\partial g_{0 0}}{\partial x^{\alpha}}\right)$
Для статического гравитационного поля $g_{\alpha 0}=0$, поэтому первая формула переходит в
$\frac{du_\alpha}{ds}=-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{00}}{\partial x^{\alpha}}$ (1)
С другой стороны на стр. 327 т.2 Теория поля, формула (3) видим, что
$f_{\alpha}=\frac{m}{\sqrt{1-v^2}}\left\{-\frac{\partial \ln\sqrt{g_{00}}}{\partial x^\alpha}+\sqrt{g_{00}}\left(\frac{\partial g_\beta}{\partial x^\alpha}-\frac{\partial g_{\alpha}}{\partial x^{\beta}}\right)v^\beta\right\}$,
где надо положить, поскольку поле статическое $g_{\alpha}=0$.
То есть из последнего уравнения имеем
$\frac{du_\alpha}{ds}=-\frac{\partial \ln\sqrt{g_{00}}}{\partial x^\alpha}$ (2)
В чём тут дело? Что правильно (1) или (2)?

[Geen]

В. Войтик в сообщении #1331593 писал(а):

То есть из последнего уравнения имеем

Как?

[В. Войтик]

Сокращая на $m$.
$\frac{f_\alpha}{m}=\frac{du_\alpha}{ds}$

-- Пт авг 10, 2018 14:54:56 --

Ааа. Вы хотите сказать, что это не так?

-- Пт авг 10, 2018 15:00:06 --

Ага. Да действительно. Понял.

-- Пт авг 10, 2018 15:16:11 --

Нет. Всё равно не понимаю. Видимо правильная формула
$\frac{f_\alpha}{m}=\frac{du_\alpha}{dx^0}$. Это после формулы (2) на стр. 327.
Тогда формула (2) должна быть в виде
$\frac{du_\alpha}{dx^0}=-\frac{\partial \ln\sqrt{g_{00}}}{\partial x^\alpha}=-\frac{\partial {g_{00}}}{2g_{00}\partial x^\alpha}$. Но
$g_{00}\frac{du_\alpha}{dx^0} \neq \frac{du_\alpha}{ds}$

[В. Войтик]

Сейчас дошло. Как ни странно , но неверна формула (1). Правильная формула (1) будет для покоящейся частицы в виде
$\frac{d^2x_\alpha}{(dx^0)^2}=-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{00}}{\partial x^{\alpha}}$
Тогда поделив это равенство на $g_{00}$ как раз и придём к равенству (2).

[svv]

Давайте сначала не предполагать, что частица покоится и что поле статическое. Кроме того, пусть индекс $\alpha$ пробегает все значения (хоть и греческий). Из $\frac{Du_\alpha}{ds}=0$ получается
$\frac{du_\alpha}{ds}=\Gamma_{i,\alpha k}u^i u^k$
Сравните расположение индексов в $\Gamma$ с тем, что в Вашей самой первой формуле.

Выразим $\Gamma$ через метрический тензор:
$\frac{du_\alpha}{ds}=\frac 1 2 \left(\frac{\partial g_{i\alpha}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\alpha}-\frac{\partial g_{\alpha k}}{\partial x^i}\right)u^i u^k$
Первое и третье слагаемые в скобках после умножения на $u^i u^k$ взаимно уничтожаются.
$\frac{du_\alpha}{ds}=\frac 1 2 \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\alpha} u^i u^k$

Если в некоторой точке $u^0=1$, остальные контравариантные компоненты $u$ нулевые, то
$\frac{du_\alpha}{ds}=\frac 1 2 \frac{\partial g_{00}}{\partial x^\alpha}$
Сравните с (1).

[В. Войтик]

Спасибо конечно за то, что Вы нашли время и попробовали мне ответить, но я уже нашёл свою ошибку.
Нулевая компонента 4-скорости частицы равна на самом деле не 1, а $u^0=1/\sqrt{g_{00}}$.
Это как раз даёт нужный коэффициент перед производной $\frac{\partial g_{00}}{\partial x^{\alpha}}$
$ \frac{d^{\,2} x_\alpha}{ds^2}=-\frac{1}{2g_{00}}\frac{\partial g_{00}}{\partial x^{\alpha}}=-\frac{\partial\ln\sqrt{g_{00}}}{\partial x^\alpha}\,.$

[svv]

В. Войтик в сообщении #1331823 писал(а):

Нулевая компонента 4-скорости частицы равна на самом деле не 1, а $u^0=1/\sqrt{g_{00}}$.

Зависит от того, чего мы требуем от метрики координат. Я, например, потребовал, чтобы в одной точке мировой линии метрика была локально лоренцева и 4-скорость $\mathbf u$ совпадала с базисным вектором $\mathbf e_0. Согласен, что эти вещи надо предварительно оговаривать.