2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Движение в статическом гравитационном поле
Сообщение10.08.2018, 12:55 
Аватара пользователя


29/01/09
376
Рассейте пожалуйста моё недоумение.
Пусть частица покоится. Тогда для пространственной координаты $\alpha$
$\frac{du_\alpha}{ds}=\Gamma_{\alpha,ik}u^{i}u^{k}$.
В том случае, если частица покоится ($v_{\alpha}=0$) из всех слагаемых суммы в правой части формулы остаётся только член с $i=k=0$. Из определения символа Кристоффеля ясно, что
$\Gamma_{\alpha,00}=\frac{1}{2}\left(2\frac{\partial g_{\alpha 0}}{\partial x^0}-\frac{\partial g_{0 0}}{\partial x^{\alpha}}\right)$
Для статического гравитационного поля $g_{\alpha 0}=0$, поэтому первая формула переходит в
$\frac{du_\alpha}{ds}=-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{00}}{\partial x^{\alpha}}$ (1)
С другой стороны на стр. 327 т.2 Теория поля, формула (3) видим, что
$f_{\alpha}=\frac{m}{\sqrt{1-v^2}}\left\{-\frac{\partial \ln\sqrt{g_{00}}}{\partial x^\alpha}+\sqrt{g_{00}}\left(\frac{\partial g_\beta}{\partial x^\alpha}-\frac{\partial g_{\alpha}}{\partial x^{\beta}}\right)v^\beta\right\}$,
где надо положить, поскольку поле статическое $g_{\alpha}=0$.
То есть из последнего уравнения имеем
$\frac{du_\alpha}{ds}=-\frac{\partial \ln\sqrt{g_{00}}}{\partial x^\alpha}$ (2)
В чём тут дело? Что правильно (1) или (2)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в статическом гравитационном поле
Сообщение10.08.2018, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1854
В. Войтик в сообщении #1331593 писал(а):
То есть из последнего уравнения имеем
Как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в статическом гравитационном поле
Сообщение10.08.2018, 13:49 
Аватара пользователя


29/01/09
376
Сокращая на $m$.
$\frac{f_\alpha}{m}=\frac{du_\alpha}{ds}$

-- Пт авг 10, 2018 14:54:56 --

Ааа. Вы хотите сказать, что это не так?

-- Пт авг 10, 2018 15:00:06 --

Ага. Да действительно. Понял.

-- Пт авг 10, 2018 15:16:11 --

Нет. Всё равно не понимаю. Видимо правильная формула
$\frac{f_\alpha}{m}=\frac{du_\alpha}{dx^0}$. Это после формулы (2) на стр. 327.
Тогда формула (2) должна быть в виде
$\frac{du_\alpha}{dx^0}=-\frac{\partial \ln\sqrt{g_{00}}}{\partial x^\alpha}=-\frac{\partial {g_{00}}}{2g_{00}\partial x^\alpha}$. Но
$g_{00}\frac{du_\alpha}{dx^0} \neq \frac{du_\alpha}{ds}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в статическом гравитационном поле
Сообщение10.08.2018, 18:11 
Аватара пользователя


29/01/09
376
Сейчас дошло. Как ни странно , но неверна формула (1). Правильная формула (1) будет для покоящейся частицы в виде
$\frac{d^2x_\alpha}{(dx^0)^2}=-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{00}}{\partial x^{\alpha}}$
Тогда поделив это равенство на $g_{00}$ как раз и придём к равенству (2).

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в статическом гравитационном поле
Сообщение11.08.2018, 03:43 
Заслуженный участник


23/07/08
7649
Харьков
Давайте сначала не предполагать, что частица покоится и что поле статическое. Кроме того, пусть индекс $\alpha$ пробегает все значения (хоть и греческий). Из $\frac{Du_\alpha}{ds}=0$ получается
$\frac{du_\alpha}{ds}=\Gamma_{i,\alpha k}u^i u^k$
Сравните расположение индексов в $\Gamma$ с тем, что в Вашей самой первой формуле.

Выразим $\Gamma$ через метрический тензор:
$\frac{du_\alpha}{ds}=\frac 1 2 \left(\frac{\partial g_{i\alpha}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\alpha}-\frac{\partial g_{\alpha k}}{\partial x^i}\right)u^i u^k$
Первое и третье слагаемые в скобках после умножения на $u^i u^k$ взаимно уничтожаются.
$\frac{du_\alpha}{ds}=\frac 1 2 \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\alpha} u^i u^k$

Если в некоторой точке $u^0=1$, остальные контравариантные компоненты $u$ нулевые, то
$\frac{du_\alpha}{ds}=\frac 1 2 \frac{\partial g_{00}}{\partial x^\alpha}$
Сравните с (1).

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в статическом гравитационном поле
Сообщение11.08.2018, 21:12 
Аватара пользователя


29/01/09
376
Спасибо конечно за то, что Вы нашли время и попробовали мне ответить, но я уже нашёл свою ошибку.
Нулевая компонента 4-скорости частицы равна на самом деле не 1, а $u^0=1/\sqrt{g_{00}}$.
Это как раз даёт нужный коэффициент перед производной $\frac{\partial g_{00}}{\partial x^{\alpha}}$
$ \frac{d^{\,2} x_\alpha}{ds^2}=-\frac{1}{2g_{00}}\frac{\partial g_{00}}{\partial x^{\alpha}}=-\frac{\partial\ln\sqrt{g_{00}}}{\partial x^\alpha}\,.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в статическом гравитационном поле
Сообщение11.08.2018, 23:39 
Заслуженный участник


23/07/08
7649
Харьков
В. Войтик в сообщении #1331823 писал(а):
Нулевая компонента 4-скорости частицы равна на самом деле не 1, а $u^0=1/\sqrt{g_{00}}$.
Зависит от того, чего мы требуем от метрики координат. Я, например, потребовал, чтобы в одной точке мировой линии метрика была локально лоренцева и 4-скорость $\mathbf u$ совпадала с базисным вектором $\mathbf e_0. Согласен, что эти вещи надо предварительно оговаривать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group