Вычислить на калькуляторе

[JohnDou]

Заметил что тут, во многих темах, задачи решаются какими-то компьютерными переборами, вольфрамами итп(даже там, где это не нужно). Так вот, задача специально для любителей¹ подобных решений:

Пусть

$\lambda=\sqrt{-1+2\sqrt{-6+4\sqrt{-13+6\sqrt{-22+8\sqrt{...}}}}}$

Вычислить с точностью до тысячных $\operatorname{Re}(\lambda)$ и $\operatorname{Im}(\lambda)$.

(Для проверки)

Цифры в тысячных $\operatorname{Re}(\lambda)$ и $\operatorname{Im}(\lambda)$ равны 4 и 0 соответственно.

Теперь задача для тех, кто любит пихать сложные задачи в раздел головоломок:
Рационально ли $\operatorname{Re}(\lambda)$? $\operatorname{Im}(\lambda)$?

(ПОДСКАЗКА)

Хотя бы одно из нижеприведённых утверждений верно:
$\operatorname{Re}(\lambda)=2+\frac{1}{3-\frac{2}{5-\frac{7}{7-\frac{14}{...}}}}$,
$\operatorname{Im}(\lambda)=\frac{2017}{97544}$,
$\lambda=2+\frac{1}{3-\frac{2}{5-\frac{7}{7-\frac{14}{...}}}}+\frac{2017i}{97544}$.

(Решение и ответ)

Будут опубликованы если кто-либо проявит интерес.

¹: не любители тоже приглашены поучаствовать.

[kotenok gav]

JohnDou в сообщении #1331457 писал(а):

Будут опубликованы если кто-либо проявит интерес.

Интерес проявлен.

[JohnDou]

Может сначала хоть кто-то попытки решения предоставит?

[wrest]

JohnDou
Подождите пару дней - форум гуглит думает

(Оффтоп)

P.S. И кстати, вы не могли бы заменить аватар на немигающий -- сильно отвлекает.

[kotenok gav]

А чем задана последовательность -1,2,-6,4,-13 и т.д.?

[wrest]

kotenok gav в сообщении #1331623 писал(а):

А чем задана последовательность -1,2,-6,4,-13 и т.д.?

$2,4,6,8$ : $a_k=2k$
$-1,-6,-13,-22$ : $b_k=2-2k-k^2$

[arseniiv]

kotenok gav
Выше уже написали, но стоит явно оговорить, что это намного уместнее воспринимать как две последовательности, а не как одну: числа стоят в разных контекстах.

wrest в сообщении #1331628 писал(а):

$-1,-6,-13,-22$ : $b_k=2-2k-k^2$

Уверены, что это единственный возможный вариант?

[kotenok gav]

Спасибо!

[wrest]

arseniiv в сообщении #1331630 писал(а):

Уверены, что это единственный возможный вариант?

Можно выделить полный квадрат, не знаю поможет ли это:
$b_k=3-(k+1)^2$

[JohnDou]

Чтобы не было недоразумений:
"Свободная последовательность" -1,-6, -13, -22, -33... это суммы отрицательных нечётных чисел (без тройки) т.е. -6=-1-5, -13=-1-5-7, -22=-1-5-7-9, -33=-1-5-7-9-11 итд.
Числа перед радикалами - это $2k$: 2, 4, 6, 8, 10...

В цепной дроби из подсказки:
Знаменатели 3, 5, 7, 9, 11... - нечётные числа начиная с 3.
Числители 2, 7, 14, 23, - это 7=2+5, 14=2+5+7, 23=2+5+7+9 т.е. к 2 поочередно прибавляются нечётные числа начиная с 5-ти.

[wrest]

У меня покашта не выходит. Действительная часть упорно получается $1,280...$ а должна бы больше двух явно.

-- 10.08.2018, 19:06 --

Пока код вот такой.

JohnDou128972(n)=my(v=vector(n,i,0));v[1]=0;for(i=2,n,v[i]=(3-(n-i+2)^2+2*(n-i+1)*sqrt(v[i-1])));print(sqrt(v[n]))

? JohnDou128972(5000)
2.41423446478221719653682369546 + 1.76565489609547058034053836788 E-8*I

-- 10.08.2018, 19:42 --

А... получилось вроде! Выше код и выдачу поправил.
Стремится к вещественному иррациональному числу $1+\sqrt{2}$

[wrest]

Массив делал чтобы следить как идет процесс, можно переписать без массива.
Ну то есть это не рекурсия, а итерации, только идут итерации с конца.

Новый код. Теперь функция не печатает, а возвращает значение после n итераций

JohnDou128972(n)=my(jd_val=0);for(i=2,n,jd_val=(3-(n-i+2)^2+2*(n-i+1)*sqrt(jd_val)));return(sqrt(jd_val))

Запуск

? JohnDou128972(10^5)
2.414213863539987711063378898 + 1.269242631240534426948404592 E-11*I
? ##
  ***   last result computed in 1,401 ms.

Время взято с планшета, на компе в среднем в 10-50 раз быстрее будет.
Сходится медленно, для $k$-й цифры после запятой надо $10^k$ итераций.

[nya]

Пусть $\lim_n S_n = S$ хорошо определенное число как предел последовательностей итераций, так как $S_{n+1} = \sqrt{a_n + b_n S_n}$ имеем $\frac{S^2 + a_n}{S b_n} \to 1$ где $b_n = O(n), a_n = O(n^2)$. Но $\frac{S^2 + a_n} {Sb_n}= \frac{a_n}{S b_n} = O(n) \to \infty$.

[wrest]

nya в сообщении #1331698 писал(а):

так как $S_{n+1} = \sqrt{a_n + b_n S_n}$ имеем

Вы в этой формуле уверены? Я например считал задом-наперед от самого вложенного радикала к внешнему $S_N=0;S_{n-1}=a_{n-1}+b_{n-1}\sqrt{S_n};S=\sqrt{S_1}$

[nya]

это то же самое с другой индексацией