2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вычислить на калькуляторе
Сообщение09.08.2018, 20:51 
Аватара пользователя


20/07/18
103
Заметил что тут, во многих темах, задачи решаются какими-то компьютерными переборами, вольфрамами итп(даже там, где это не нужно). Так вот, задача специально для любителей¹ подобных решений:

Пусть
$\lambda=\sqrt{-1+2\sqrt{-6+4\sqrt{-13+6\sqrt{-22+8\sqrt{...}}}}}$

Вычислить с точностью до тысячных $\operatorname{Re}(\lambda)$ и $\operatorname{Im}(\lambda)$.

(Для проверки)

Цифры в тысячных $\operatorname{Re}(\lambda)$ и $\operatorname{Im}(\lambda)$ равны 4 и 0 соответственно.


Теперь задача для тех, кто любит пихать сложные задачи в раздел головоломок:
Рационально ли $\operatorname{Re}(\lambda)$? $\operatorname{Im}(\lambda)$?

(ПОДСКАЗКА)

Хотя бы одно из нижеприведённых утверждений верно:
$\operatorname{Re}(\lambda)=2+\frac{1}{3-\frac{2}{5-\frac{7}{7-\frac{14}{...}}}}$,
$\operatorname{Im}(\lambda)=\frac{2017}{97544}$,
$\lambda=2+\frac{1}{3-\frac{2}{5-\frac{7}{7-\frac{14}{...}}}}+\frac{2017i}{97544}$.


(Решение и ответ)

Будут опубликованы если кто-либо проявит интерес.


¹: не любители тоже приглашены поучаствовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить на калькуляторе
Сообщение09.08.2018, 20:55 


21/05/16
4292
Аделаида
JohnDou в сообщении #1331457 писал(а):
Будут опубликованы если кто-либо проявит интерес.

Интерес проявлен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить на калькуляторе
Сообщение10.08.2018, 10:47 
Аватара пользователя


20/07/18
103
Может сначала хоть кто-то попытки решения предоставит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить на калькуляторе
Сообщение10.08.2018, 11:24 


05/09/16
11468
JohnDou
Подождите пару дней - форум гуглит думает :mrgreen:

(Оффтоп)

P.S. И кстати, вы не могли бы заменить аватар на немигающий -- сильно отвлекает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить на калькуляторе
Сообщение10.08.2018, 15:54 


21/05/16
4292
Аделаида
А чем задана последовательность -1,2,-6,4,-13 и т.д.?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить на калькуляторе
Сообщение10.08.2018, 16:25 


05/09/16
11468
kotenok gav в сообщении #1331623 писал(а):
А чем задана последовательность -1,2,-6,4,-13 и т.д.?

$2,4,6,8$ : $a_k=2k$
$-1,-6,-13,-22$ : $b_k=2-2k-k^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить на калькуляторе
Сообщение10.08.2018, 16:33 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
kotenok gav
Выше уже написали, но стоит явно оговорить, что это намного уместнее воспринимать как две последовательности, а не как одну: числа стоят в разных контекстах.

wrest в сообщении #1331628 писал(а):
$-1,-6,-13,-22$ : $b_k=2-2k-k^2$
Уверены, что это единственный возможный вариант?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить на калькуляторе
Сообщение10.08.2018, 16:58 


21/05/16
4292
Аделаида
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить на калькуляторе
Сообщение10.08.2018, 17:06 


05/09/16
11468
arseniiv в сообщении #1331630 писал(а):
Уверены, что это единственный возможный вариант?

Можно выделить полный квадрат, не знаю поможет ли это:
$b_k=3-(k+1)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить на калькуляторе
Сообщение10.08.2018, 18:51 
Аватара пользователя


20/07/18
103
Чтобы не было недоразумений:
"Свободная последовательность" -1,-6, -13, -22, -33... это суммы отрицательных нечётных чисел (без тройки) т.е. -6=-1-5, -13=-1-5-7, -22=-1-5-7-9, -33=-1-5-7-9-11 итд.
Числа перед радикалами - это $2k$: 2, 4, 6, 8, 10...

В цепной дроби из подсказки:
Знаменатели 3, 5, 7, 9, 11... - нечётные числа начиная с 3.
Числители 2, 7, 14, 23, - это 7=2+5, 14=2+5+7, 23=2+5+7+9 т.е. к 2 поочередно прибавляются нечётные числа начиная с 5-ти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить на калькуляторе
Сообщение10.08.2018, 18:55 


05/09/16
11468
У меня покашта не выходит. Действительная часть упорно получается $1,280...$ а должна бы больше двух явно.

-- 10.08.2018, 19:06 --

Пока код вот такой.
Код:
JohnDou128972(n)=my(v=vector(n,i,0));v[1]=0;for(i=2,n,v[i]=(3-(n-i+2)^2+2*(n-i+1)*sqrt(v[i-1])));print(sqrt(v[n]))

Код:
? JohnDou128972(5000)
2.41423446478221719653682369546 + 1.76565489609547058034053836788 E-8*I


-- 10.08.2018, 19:42 --

А... получилось вроде! Выше код и выдачу поправил.
Стремится к вещественному иррациональному числу $1+\sqrt{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить на калькуляторе
Сообщение10.08.2018, 20:09 


05/09/16
11468
Массив делал чтобы следить как идет процесс, можно переписать без массива.
Ну то есть это не рекурсия, а итерации, только идут итерации с конца.

Новый код. Теперь функция не печатает, а возвращает значение после n итераций

Код:
JohnDou128972(n)=my(jd_val=0);for(i=2,n,jd_val=(3-(n-i+2)^2+2*(n-i+1)*sqrt(jd_val)));return(sqrt(jd_val))


Запуск
Код:
? JohnDou128972(10^5)
2.414213863539987711063378898 + 1.269242631240534426948404592 E-11*I
? ##
  ***   last result computed in 1,401 ms.

Время взято с планшета, на компе в среднем в 10-50 раз быстрее будет.
Сходится медленно, для $k$-й цифры после запятой надо $10^k$ итераций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить на калькуляторе
Сообщение10.08.2018, 23:35 


17/04/18
143
Пусть $\lim_n S_n = S$ хорошо определенное число как предел последовательностей итераций, так как $S_{n+1} = \sqrt{a_n + b_n S_n}$ имеем $\frac{S^2 + a_n}{S b_n} \to 1$ где $b_n = O(n), a_n = O(n^2)$. Но $\frac{S^2 + a_n} {Sb_n}= \frac{a_n}{S b_n} = O(n) \to \infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить на калькуляторе
Сообщение10.08.2018, 23:51 


05/09/16
11468
nya в сообщении #1331698 писал(а):
так как $S_{n+1} = \sqrt{a_n + b_n S_n}$ имеем

Вы в этой формуле уверены? Я например считал задом-наперед от самого вложенного радикала к внешнему $S_N=0;S_{n-1}=a_{n-1}+b_{n-1}\sqrt{S_n};S=\sqrt{S_1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить на калькуляторе
Сообщение10.08.2018, 23:53 


17/04/18
143
это то же самое с другой индексацией

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group