Задача на параметр сигма в нормальном распределении

[JSBach]

Здравствуйте,

Пытаюсь решить задачу из учебника по теории вероятностей МГТУ им. Баумана (задача 4.39). Вот условие задачи.

Высотомер имеет случайную и систематическую погрешности. Систематическая погрешность равна 20 м. Случайная погрешность распределена по нормальному закону. Какую среднюю квадратичную погрешность должен иметь прибор, чтобы с вероятностью 0.9452 погрешность измерения высоты была меньше 10 м?

Если я правильно понимаю, то систематическая погрешность не имеет отношения к распределению случайной погрешности, т. е. параметр $m$ в формуле $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$ нормального распределения нулевой. Кроме того, чтобы погрешность измерения по модулю не превышала 10 м, случайная погрешность должна принадлежать интервалу (-30, -10). Тогда, как следует из учебника, вероятность попадания случайной погрешности в этот интервал равна

$$\Phi _0\left(\frac{-10}{\sigma}\right) - \Phi _0\left(\frac{-30}{\sigma}\right),$$

где $\Phi _0$ - интеграл Лапласа. А тогда, поскольку интеграл не берущийся, приходится, используя таблицы, искать методом перебора такое значение $\sigma$, при котором данная разность будет равна 0.9452. Но я не уверен, что авторы имели в виду такой метод решения. Значит, какая-то деталь в этой задаче ускользает от моего внимания.

Буду очень благодарен, если кто-то сможет сориентировать меня в нужном направлении.

[Brukvalub]

JSBach в сообщении #1200706 писал(а):

параметр $m$ в формуле $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$ нормального распределения нулевой. Кроме того, чтобы погрешность измерения по модулю не превышала 10 м, случайная погрешность должна принадлежать интервалу (-30, -10).

Первое не согласуется со вторым.

[JSBach]

Brukvalub в сообщении #1200716 писал(а):

JSBach в сообщении #1200706 писал(а):

параметр $m$ в формуле $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$ нормального распределения нулевой. Кроме того, чтобы погрешность измерения по модулю не превышала 10 м, случайная погрешность должна принадлежать интервалу (-30, -10).

Первое не согласуется со вторым.

Не совсем понимаю, что Вы имеете в виду. Ведь, если верно то, что систематическая погрешность не связана с параметром $m$ (т. е. $m = 0$, то должно быть $\left |x+20\right | < 10$, откуда и следует, что $x\in (-30, -10)$. Или все-таки систематическая погрешность как-то связана с $m$?

[AV_77]

Систематическая погрешность фиксирована - если намеряли $x$ метров, то высота $x - 20$.

[JSBach]

AV_77 в сообщении #1200734 писал(а):

Систематическая погрешность фиксирована - если намеряли $x$ метров, то высота $x - 20$.

Я так и думал. Правда, остается сомнение относительно понимания термина "случайная погрешность". Я так понял, что это "добавочная" погрешность - которая приплюсовывается к систематической. Т. е. общая погрешность измерения равна $H + 20 + x$, где $H$ - действительная высота, а $x$ - случайная погрешность. Тогда общая погрешность измерений равна $H + 20 + x - H = 20 + x$ и это значение не должно по модулю превышать 10, откуда и следует что $x \in (-30, -10)$.

Если же под случайной погрешностью следует понимать общую погрешность, то что тогда выходит... Нужно ли тогда принять $m = 20$?. Но это все равно приводит к вычислению того же интеграла (т. е. с теми же пределами). Если же при этом $m = 0$, то вообще какая-то бессмыслица выходит. Но, даже если сделать такое предположение, то вычисления дают $\sigma = 5.2 метра$, а в ответе - 50 метров.

Где же собака зарыта?...

[ewert]

К этому надо просто привыкнуть. Систематическая погрешность -- это матожидание (т.е. погрешность калибровки прибора), случайная -- это сигма (дополнительная погрешность за счёт неизвоиспроизводимости измерений из-за неизвестности того, какая утка и когда и на какое крыло ляжет).

Ну это просто такой физический жаргон.

[JSBach]

ewert в сообщении #1200782 писал(а):

Систематическая погрешность -- это матожидание (т.е. погрешность калибровки прибора)

Значит имеем $m = 20$, а погрешность должна принадлежать интервалу $(-10, 10)$. Тогда выходит, что вероятность равна

$$\Phi_0(\frac{10-20}{\sigma}) - \Phi_0(\frac{-10-20}{\sigma}) = \Phi_0(\frac{-10}{\sigma}) - \Phi_0(\frac{-30}{\sigma})$$

т. е. я снова прихожу к тому же выражению, что и раньше. Я уже даже смирился с мыслью, что значение сигма придется искать перебором. Но, проблема в том, что проведя обратный анализ - подставив в полученное выражение значение сигма из ответа (50) - я получаю 0.14649 вместо 0.9452.
Я даже попробовал предположить, что значения аргумента $\Phi_0$ должны (в правильном ответе) быть симметричны относительно начала координат, т. е. должно быть $2\Phi_0(\frac{y}{50}) = 0.9452$. Но тогда получаем $y = 96$, что никак не согласуется с условием.

[JSBach]

После некоторого перерыва решил вернуться к этому учебнику и опять наткнулся на трудности с данной задачей. Поиск в интернете дал ссылку на ресурс с решением практически такой же задачи (только значения в условии немного отличаются).
Вот ссылка:
https://studfiles.net/preview/2015038/page:6/

Прочитав и проанализировав решение на указанном ресурсе, пришел к выводу, что мои рассуждения были все-таки верными в целом. Были некоторые нюансы, но все равно в конечном итоги все приходит к вычислению выражения

$$\Phi_0(\frac{30}{\sigma}) - \Phi_0(\frac{10}{\sigma})$$

Из этого выражения очевидно, что искомая вероятность не может быть больше $0.5$. Однако в условии требуется $0.9452$. Значит, какие-то из данных в условии не верны. В варианте задачи на приведенном выше ресурсе дано $100$ метров вместо $10$.
Если использовать это значение в моей задаче, то все сходится (правда, авторы округлили ответ).

К сожалению, из этого приходится сделать вывод, что никто из ответивших, по всей видимости, не удосужился попытаться решить задачу. То, что данные в условии не сходятся, стало бы очевидным для специалиста, попытавшегося эту задачу решить, и следовало бы указать в первую очередь именно на это (я на месте помогающего так и сделал бы).

Кроме того, несколько удивило то, что искомое значение действительно (как я и предполагал) приходится искать подбором. Видимо, это характерно для некоторых задач из некоторых разделов математики - теории вероятностей в частности.

[Евгений Машеров]

При измерениях систематическую погрешность (определённую при поверке и занесённую в паспорт прибора) вычитают. То есть учитывать её в данной задаче вообще не надо. Для чего она приведена - возможно, имитируется реальный расчёт, при котором она задана, и расчётчик должен понимать, какие данные нужны для расчёта, а какие нет.
Следовательно, нужно решить относительно сигмы уравнение
$\Phi(\frac {10}\sigma)-\Phi(\frac{-10}\sigma)=p$
Перебор - один из способов решения, но не лучший. Вообще-то надо применить какой-то способ решения нелинейных уравнений, например, Ньютона. Но в частном случае может хватить и перебора.

[Someone]

Евгений Машеров в сообщении #1331538 писал(а):

Перебор - один из способов решения, но не лучший. Вообще-то надо применить какой-то способ решения нелинейных уравнений, например, Ньютона. Но в частном случае может хватить и перебора.

А в данном случае наверняка нужно воспользоваться таблицей значений функции $\Phi(x)$, имеющейся в учебнике.

[novichok2018]

Ф - нечётная? Можно упростить уравнение?

[Евгений Машеров]

Она не нечётная, но может быть представлена суммой константы и нечётной функции. Так что для данных значений аргумента расчёт, как тут подсказывают, сведётся к заглядыванию в имеющуюся в большинстве учебников таблицу.

[Someone]

Судя по некоторым косвенным признакам, у топикстартера нечётная:

$$\Phi(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^xe^{-\frac{t^2}2}dt.$$

[Евгений Машеров]

Такая - нечётная. Я о функции распределения, которая в минус бесконечности ноль, в плюс бесконечности один.

[JSBach]

Евгений Машеров в сообщении #1331538 писал(а):

То есть учитывать её в данной задаче вообще не надо.

Не согласен. Такой вариант я уже пробовал еще при первом подходе к решению задачи. Если подставить в формулу $\Phi_0(\frac{10}{\sigma}) - \Phi_0(\frac{-10}{\sigma})$ приведенный в учебнике ответ $50$ метров, то вероятность получается очень далекой от требуемой. Кроме того, авторы все-таки пишут не "случайная погрешность", а просто "погрешность", когда требуют, чтобы она была меньше $10$ метров. Значит все-таки имеется в виду вся погрешность: систематическая плюс случайная.

Someone в сообщении #1331619 писал(а):

Судя по некоторым косвенным признакам, у топикстартера нечётная:

$$\Phi(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^xe^{-\frac{t^2}2}dt.$$

Совершенно верно.