2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Модификация задачи о погоне
Сообщение10.08.2018, 11:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2020
Joe Black в сообщении #1331562 писал(а):
хочется решить простую кинематическую задачу

Невозможно решить задачу ничего не решая ;-) У Вас есть решение, например, той задачи, что я во втором посте сформулировал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Модификация задачи о погоне
Сообщение10.08.2018, 13:04 
Аватара пользователя


26/03/13
319
Russia
имеем систему уравнений(пусть автобус начинает движение при $t = 0$):
$\begin{cases} (1) x_{bus} = V\cdot t\\(2) x_{p} = x_0 + u_x \cdot t  \\(3) y_{p} = y_0 + u_y \cdot t  \\(4) y_{p} = 0  \\(5) x_{p} \geq x_{bus}  \end{cases}$

(1) - уравнение движения автобуса, (2-3) - уравнение движения пассажира, (4-5) - условия попадания на борт

подставляем (3) в (4): $y_0 + u_y t = 0 \Leftrightarrow t = -\dfrac{y_0}{u_y}$

подставляем (1, 2) в (5): $x_0 + u_x t \geq v t \Leftrightarrow x_0 + u_x t - v t \geq 0 $, подставляем $t: x_0 + \left(\dfrac{v y_0}{u_y} - \dfrac{u_x y_0}{u_y} \right) \geq 0$

далее $u_x = u \cos \alpha;\> u_y = u \sin \alpha \Rightarrow \> x_0 + y_0 \left( \dfrac{v}{u_y} - \ctg \alpha \right) \geq 0 $

-- 10.08.2018, 13:07 --

Да забыл, ещё есть условие $|x_0| = |y_0|$

 Профиль  
                  
 
 Re: Модификация задачи о погоне
Сообщение10.08.2018, 13:19 


05/09/16
4811
Joe Black в сообщении #1331595 писал(а):
далее $u_x = u \cos \alpha;\> u_y = u \sin \alpha \Rightarrow \> x_0 + y_0 \left( \dfrac{v}{u_y} - \ctg \alpha \right) \geq 0 $

Ну дык чего ж $u_y = u \sin \alpha$ недоподставили, в первое слагемое в скобке?

Дальше еще для удобства сделайте замену $u/v=$ (или наоборот) какая буква вам нравится, хотя можно и так оставить. И найдите удовлетворяющие $\alpha$ (это как раз угол куды бечь).

 Профиль  
                  
 
 Re: Модификация задачи о погоне
Сообщение10.08.2018, 13:43 
Аватара пользователя


26/03/13
319
Russia
Пусть $x_0 = y_0$, тогда

$ x_0 + y_0 \left( \dfrac{v}{u_y} - \ctg \alpha \right) \geq 0 $

$1 + \dfrac{v}{u_y} - \ctg \alpha \geq 0$

$\frac{u(\sin \alpha - \cos \alpha) + v \sin \alpha}{\sin \alpha} \geq 0$

$u(1 - \ctg \alpha) + v \geq 0 $, пусть $u/v \equiv \psi$

$\psi (1 - \ctg \alpha) + 1 \geq 0$

$\ctg \alpha \leq 1 + \dfrac{1}{\psi}$

$\ctg \alpha \leq \dfrac{u + v}{u}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Модификация задачи о погоне
Сообщение10.08.2018, 13:48 


11/12/16
4054
Это всё не дает ответа на вопрос из начального поста:

Joe Black в сообщении #1331488 писал(а):
Как максимизировать вероятность успеть на автобус?


Более того, дополнительно введенное условие:

Joe Black в сообщении #1331595 писал(а):
Да забыл, ещё есть условие $|x_0| = |y_0|$

Лишает этот вопрос всякого смысла (а смысл ранее был).

-- 10.08.2018, 13:57 --

Для удобства выберем другую систему отсчета:

1. Ось $X$ - вдоль дороги.
2. Ось $Y$ - перпендикулярно дороге и проходит через пассажира.

Тогда, начальные координаты (в момент, когда пассажир начинает движение)
1. Пассажира: $(0;y_p)$, причем $y_p$ известно.
2. Автобуса: $(x_a;0)$, причем $x_a$ неизвестно.

Что значит "максимизировать вероятность успеть на автобус"? Это означает, что область, где находится автобус в начальный момент времени, и когда на него успеваем максимальна. Очевидно, что если автобус из начального положения $x_1$ ловился, то он будет ловиться и из начального положения $x_2 < x_1$: просто приходим на дорогу и ждем автобус. Таким образом, задача сводится к максимизации $x_a$ по углу с которым пешеход идет к дороге.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модификация задачи о погоне
Сообщение10.08.2018, 14:04 


05/09/16
4811
Joe Black в сообщении #1331601 писал(а):
$\ctg \alpha \leq \dfrac{u + v}{u}$

Где-то ошибка, потому что так получается, что пассажир всегда успеет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модификация задачи о погоне
Сообщение10.08.2018, 14:51 
Аватара пользователя


26/03/13
319
Russia
EUgeneUS в сообщении #1331602 писал(а):
Это всё не дает ответа на вопрос из начального поста:

Joe Black в сообщении #1331488 писал(а):
Как максимизировать вероятность успеть на автобус?


Более того, дополнительно введенное условие:

Joe Black в сообщении #1331595 писал(а):
Да забыл, ещё есть условие $|x_0| = |y_0|$

Лишает этот вопрос всякого смысла (а смысл ранее был).

-- 10.08.2018, 13:57 --

Для удобства выберем другую систему отсчета:

1. Ось $X$ - вдоль дороги.
2. Ось $Y$ - перпендикулярно дороге и проходит через пассажира.

Тогда, начальные координаты (в момент, когда пассажир начинает движение)
1. Пассажира: $(0;y_p)$, причем $y_p$ известно.
2. Автобуса: $(x_a;0)$, причем $x_a$ неизвестно.

Что значит "максимизировать вероятность успеть на автобус"? Это означает, что область, где находится автобус в начальный момент времени, и когда на него успеваем максимальна. Очевидно, что если автобус из начального положения $x_1$ ловился, то он будет ловиться и из начального положения $x_2 < x_1$: просто приходим на дорогу и ждем автобус. Таким образом, задача сводится к максимизации $x_a$ по углу с которым пешеход идет к дороге.


В любом случае пассажир начинает движения сразу же, начальные координаты автобуса известны (0;0)

 Профиль  
                  
 
 Re: Модификация задачи о погоне
Сообщение10.08.2018, 15:03 


11/12/16
4054
Joe Black

Если начальные (в момент начала движения пешеходом) координаты и пешехода, и автобуса известны, то вопрос в стартовом сообщении о "максимизации вероятности встретить автобус" не имеет смысла. Пешеход, действуя оптимально, либо ловит автобус с вероятностью 1, либо не ловит с вероятностью 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модификация задачи о погоне
Сообщение10.08.2018, 15:42 


05/09/16
4811
Joe Black
Я бы предложил вам нарисовать картинку, ибо решение для отрицательного времени существует всегда, но вам оно не нужно, пассажир-то двигается во времени вперед, а не назад.
Поэтому будут ограничения, например, на угол и на знаки проекций скоростей: если у вас получилось что пассажир убегает от дороги, то возможно это из-за того, что при обратном ходе времени он к дороге приближается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модификация задачи о погоне
Сообщение10.08.2018, 17:56 
Заслуженный участник


10/01/16
1856
Geen в сообщении #1331554 писал(а):
Вроде бы это не важно - нам ведь не нужно вычислить эту вероятность.

В таком случае, у нас получается задача типа "найдите точку максимума функции (неизвестной)". Я говорю : "а что за функция?" Вы отвечаете : "неважно, ведь нас не просят найти сам максимум, а токо точку максимума...."

 Профиль  
                  
 
 Re: Модификация задачи о погоне
Сообщение10.08.2018, 17:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2020
DeBill в сообщении #1331652 писал(а):
Geen в сообщении #1331554 писал(а):
Вроде бы это не важно - нам ведь не нужно вычислить эту вероятность.

В таком случае, у нас получается задача типа "найдите точку максимума функции (неизвестной)". Я говорю : "а что за функция?" Вы отвечаете : "неважно, ведь нас не просят найти сам максимум, а токо точку максимума...."

Не, нам надо найти минимум интеграла неотрицательной функции варьируя верхний предел :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Модификация задачи о погоне
Сообщение10.08.2018, 19:02 
Заслуженный участник


10/01/16
1856
Geen в сообщении #1331653 писал(а):
Не, нам надо найти минимум интеграла неотрицательной функции варьируя верхний предел :-)

Аааа, дошло.! И - да, я умею решать такую задачу! :D
Действительно, надо пилить под углом с косинусом, равным отношению скоростей.
(а при равенстве - параллельно дороге :D )

 Профиль  
                  
 
 Re: Модификация задачи о погоне
Сообщение10.08.2018, 19:06 


11/12/16
4054
Geen

ИМХО, мы ищем максимум интеграла неотрицательной функции, варьируя верхний предел.
То есть нужно найти верхний предел, максимальный из возможных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модификация задачи о погоне
Сообщение11.08.2018, 00:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2020
EUgeneUS в сообщении #1331664 писал(а):
ИМХО, мы ищем максимум интеграла неотрицательной функции, варьируя верхний предел.

Если максимум, то нижний предел... :-)

Ёлки, столько уже понаписали.... :mrgreen:
Пусть автобус и пассажир движутся по произвольным законам (например, автобус - с постоянным ускорением, постоянной мощностью или ещё как, а пассажир огибает кусты и извиняется перед сбитыми старушками). При этом, автобус движется сам по себе (независимо от пассажира), а пассажир знает все эти законы и движется оптимально. Тогда существует непустая "зона перехвата" (которую надо уметь вычислять для произвольной текущей конфигурации), находясь в которой пассажир гарантированно перехватит автобус.
Единственное, что не знает пассажир, это время старта автобуса (и/или время его остановок на 13-ом или 42-ом километре).
В любом случае, внутри зоны перехвата пассажир может двигаться как угодно, а вне неё должен двигаться по траектории минимизирующей время попадания в эту зону....

 Профиль  
                  
 
 Re: Модификация задачи о погоне
Сообщение11.08.2018, 02:15 
Аватара пользователя


13/08/13
3278
лол, надо всего лишь решить уравнение $\frac{x}{\sqrt{100+x^2}}=\frac{u}{v}$ :mrgreen:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group