Модификация задачи о погоне

[starper]

Sicker в сообщении #1331714 писал(а):

лол, надо всего лишь решить уравнение $\frac{x}{\sqrt{100+x^2}}=\frac{u}{v}$

А $x$ в данном уравнении что означает? И каков ответ на вопрос задачи?

[Sicker]

starper в сообщении #1331715 писал(а):

А $x$ в данном уравнении что означает? И каков ответ на вопрос задачи?

Расстояние по оси X от точки (10,0) до предполагаемой точки перехвата.
И ответ, надо сначала найти предполагаемую точку перехвата, и посмотреть действительно ли она точка перехвата.
Если нет, то задача не имеет решения, если да, то точка перехвата (правда срединная, не крайняя)

[Joe Black]

переделал

имеем систему уравнений(пусть автобус начинает движение при $t = 0$):
$\begin{cases} (1) x_{bus} = V\cdot t\\(2) x_{p} = x_0 + u_x \cdot t \\(3) y_{p} = y_0 + u_y \cdot t \\(4) y_{p} = 0 \\(5) x_{p} \geq x_{bus} \end{cases}$

(1) - уравнение движения автобуса, (2-3) - уравнение движения пассажира, (4-5) - условия попадания на борт

подставляем (3) в (4): $y_0 + u_y \tau = 0 \Leftrightarrow \tau = -\dfrac{y_0}{u \sin \alpha}$, $\tau$ - момент, когда пешеход достигает ось X

подставляем (1, 2) в (5): $x_0 + u\cos \alpha \tau \geq v \tau$

$x_0 + u\cos \alpha (-1) \dfrac{y_0}{u \sin \alpha} \geq v (-1) \dfrac{y_0}{u \sin \alpha} | \cdot (-1) \sin \alpha : y_0 $

$-\dfrac{x_0}{y_0}\sin \alpha + \cos \alpha \leq \dfrac{v}{u} | \> \dfrac{x_0}{y_0} := \phi ; \> \dfrac{v}{u} := \psi $

$-\phi \sin \alpha + \cos \alpha \leq \psi$

$-\sqrt{1 + \phi ^2} \left( \dfrac{\phi}{\sqrt{1 + \phi ^2}}\sin \alpha - \dfrac{1}{\sqrt{1 + \phi ^2}} \cos \alpha \right) \leq \psi |: -\sqrt{1 + \phi ^2}} $

$\cos \beta = \dfrac{\phi}{\sqrt{1 + \phi ^2}}, \> \sin \beta = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \phi ^2}}$

$\sin(\alpha - \beta) \geq -\dfrac{\psi}{\sqrt{1+ \phi ^2}}$

[Joe Black]

пусть в уравнении (5) будет равенство, тогда:

$sin( \alpha - \beta) = - \dfrac{\psi}{\sqrt{1 + \phi ^2}} $

$\alpha = \beta + \arcsin \left( - \dfrac{\psi}{\sqrt{1 + \phi ^2}} \right)$

$\alpha = \arctg \left( \dfrac{y_0}{x_0} \right) + \arcsin \left( - \dfrac{\dfrac{v}{u}}{\sqrt{1 + \arctg \dfrac{y_0}{x_0} }} \right)$

верно?

не понимаю как здесь получается косинус отношения скоростей

[wrest]

Joe Black
Проверьте на каких-то удобных значениях с очевидным решением.

Например $x_0=y_0=1$ и $u=v=1$

И нарисуйте картинку, куда у вас отсчитываются углы и т.п.

Я например не понимаю ваших записей с палочками и двоеточиями, и в частности, как вообще в последней формуле появляется арктангенс под корнем...

[Henrylee]

Mожёт, чего пропустил, но что если скорость пассажира сильно меньше, чем скорость автобуса. Именно настолько, что пассажир никогда не успеет, если автобус выезжает сразу (в нулевой момент). А тем не менее, вероятность успеть есть, поскольку автобус какое-то время стоит. Таким образом, предпосылка, что автобус и пассажир начинают двигаться одновременно, не имеет к задаче отношения. А вот чтобы максимизировать вероятность успеть, надо уметь её считать для начала. А для этого нужно знать распределение времени отправления автобуса.

[wrest]

Henrylee в сообщении #1332147 писал(а):

А вот чтобы максимизировать вероятность успеть, надо уметь её считать для начала.

Зачем это это умение?

Henrylee в сообщении #1332147 писал(а):

Именно настолько, что пассажир никогда не успеет, если автобус выезжает сразу (в нулевой момент). А тем не менее, вероятность успеть есть,

Вам не кажется, что одно выделенное жирным противоречит другому?

[Henrylee]

Нет, не кажется. И Вы бы это поняли, если бы прочитали обрезанную Вами фразу до конца

[wrest]

Henrylee в сообщении #1332154 писал(а):

если бы прочитали обрезанную Вами фразу до конца

Да я попробовал, но там тоже одно другому противоречит. Сначала вы пишете "автобус выезжает сразу (в нулевой момент)" а потом пишете " автобус какое-то время стоит."
Ну да ладно, может ТС поймёт что вы имели в виду...

[EUgeneUS]

Henrylee

Пусть автобус движется с известной скоростью, но в неизвестном месте, или пусть автобус выезжает из известного места, но в неизвестное время - это всё одно и то же. Чтобы максимизировать вероятность встречи с автобусом
а) не нужно считать саму вероятность,
б) соответственно, не нужно распределение вероятности положения автобуса на дороге, или распределение времени отправления автобуса.

[Henrylee]

wrest в сообщении #1332164 писал(а):

Henrylee в сообщении #1332154 писал(а):

если бы прочитали обрезанную Вами фразу до конца

Да я попробовал, но там тоже одно другому противоречит. Сначала вы пишете "автобус выезжает сразу (в нулевой момент)" а потом пишете " автобус какое-то время стоит."
Ну да ладно, может ТС поймёт что вы имели в виду...

Неужели? Объясню подробнее. Следуя за ТС, все комментаторы данной темы дружно решили решать детерминированную задачу, считая, что автобус выезжает сразу. При этом предположении, величины скоростей могут быть такими, что пассажир никогда автобус не догонит, и вероятность окажется равной нулю. Тем не менее, задача сформулирована таким образом, что вероятность успеть на автобус положительна, при любом соотношении скоростей (понятно, почему? Потому, что автобус может стоять неограниченно долго).

-- Пн авг 13, 2018 13:49:20 --

EUgeneUS в сообщении #1332170 писал(а):

Henrylee

Пусть автобус движется с известной скоростью, но в неизвестном месте, или пусть автобус выезжает из известного места, но в неизвестное время - это всё одно и то же. Чтобы максимизировать вероятность встречи с автобусом
а) не нужно считать саму вероятность,
б) соответственно, не нужно распределение вероятности положения автобуса на дороге, или распределение времени отправления автобуса.

Вы ничего не посчитаете «в неизвестном месте». Тем более не сможете максимизировать величину, которую не можете посчитать.

[wrest]

Joe Black
Я нарисовал вам картинку для медитации.

На ней автобус выезжает из точки $A$, а пассажир выбегает из точки $P$ в один и тот же момент времени, и после старта их направления движения и скорость не меняются.
Скорость автобуса выбрана в два раза больше чем скорость пассажира, т.е. $\dfrac{u}{v}=\dfrac{1}{2}$.
Окружности одного цвета -- это геометрическое место точек куда пассажир и автобус попадают в один и тот же момент времени, а их пересечение -- зеленая пунктирная окружность -- это геометрическое место точек, где пассажир и автобус могут встретиться, если с самого начала будут бежать прямолинейно и равномерно, никуда не сворачивая и не останавливаясь.
Если внимательно посмотреть на рисунок, то видно, что при таком раскладе пассажир может бежать в любое место между точками $B_1$ и $B_2$ и при этом успеть на автобус. Если пассажир побежит левее точки $B_1$ или правее точки $B_2$, то он не попадает на автобус. Везде между точками $B_1$ и $B_2$ пассажир выбегает на дорогу раньше чем там оказывается автобус, а в точках $B_1$ и $B_2$ -- одновременно.
Так вот, для маскимизации вероятности попасть на автобус, если известно что автобус ездит в два раза быстрее чем бегает пассажир, пассажиру надо бечь в точку $B_2$. Вот и найдите $B_2$ теперь. набо бечь в такое место, где он максимально опережает автобус, это где-то между точками $B_1$ и $B_2$.

Еще подсказка: $\dfrac{PB_2}{AB_2}=\dfrac{PB_1}{AB_1}=\dfrac{u}{v}$

В качестве дополнительного развлечения упражнения -- найдите центр пунктирной окружности и её радиус.

[Henrylee]

это не максимизация вероятности. В таком случае, она всегда равна единице, неважно, куда в указанный отрезок бежать. Максимизируйте-ка случай, когда пунктирная окружность встречи не пересекает ось.

[wrest]

А, точно. Бежать надо где-то по биссектрисе или (или около того) угла $\angle B_1PB_2$, чтобы максимально опередить автобус.

Или нет...

Я сам запутался. Нужна помощь зала. Картинка теперь есть.

[EUgeneUS]

Henrylee в сообщении #1332180 писал(а):

Вы ничего не посчитаете «в неизвестном месте». Тем более не сможете максимизировать величину, которую не можете посчитать.

Пусть у вас есть хитро гнутая бочка, известно, что высота её стенок $H$. Чтобы ответить на вопрос: "при какой высоте воды бочка будет содержать максимальный объем воды?" - не нужно считать этот хитро выгнутый объем, можно сразу сказать: "при высоте $H$".

-- 13.08.2018, 14:07 --

wrest
Обратите внимание, что если пассажир бежит в точку $B_2$, то он ловит автобус, не только "стартовавший" из точки $A$, но и все автобусы, стартовавшие левее.
Теперь зададимся вопросом: а какой "самый правый автобус" ловит пассажир? И куда ему надо при этом бежать?
Это и будет ответом на вопрос "как максимизировать вероятность поймать автобус".
Если Вы нарисуете над осью $X$ распределение вероятности $p(x)$ нахождения автобуса в точке $x$ в момент, когда пассажир начинает бежать, то вероятность поймать автобус будет:

$P = \int\limits_{-\infty}^{A} p(x)dx$

Где A - такая точка начального положения автобуса, что пассажир ловит все "левые" автобусы, но не ловит все "правые".

Так как функция $p(x)$ неотрицательна, то для максимизации интеграла достаточно максимизировать верхний предел интегрирования.

-- 13.08.2018, 14:18 --

UPD: несколько запутывает то, что начало отсчета по оси $X$ связано (у ТС и у wrest) с начальным положением положением автобуса.

-- 13.08.2018, 14:23 --

Henrylee в сообщении #1332190 писал(а):

Максимизируйте-ка случай, когда пунктирная окружность встречи не пересекает ось.

Вероятность встречи автобуса максимизируется, когда пунктирная окружность касается оси.