2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать, что в последовательности не встретится квадрат
Сообщение10.08.2018, 10:46 
Аватара пользователя


01/12/11
7282
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
Для каждого натурального числа умножим сумму его чётных делителей на сумму его нечётных делителей, получим последовательность:

0 2 0 6 0 32 ...

а) Доказать, что в этой последовательности никогда не встретится квадрат, больший нуля.

б) Можно ли в этой последовательности встретить куб, больший нуля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что в последовательности не встретится квадрат
Сообщение10.08.2018, 11:44 


05/09/16
4367
Ktina в сообщении #1331560 писал(а):
б) Можно ли в этой последовательности встретить куб, больший нуля?

Можно, например 20-й член.
И ещё дофига.
В первом миллионе членов последовательности встретились кубы следующих чисел:
6, 14, 18, 24, 30, 32, 56, 62, 72, 96, 120, 128, 200, 216, 224, 248, 270, 288, 338, 384, 392, 480, 486, 504, 510, 512, 558, 600, 648, 686, 800, 864, 882, 896, 968, 992, 1014, 1022, 1080, 1152, 1176, 1250, 1350, 1352, 1400, 1470, 1536, 1568, 1800, 1920, 1922, 1944, 2016, 2040, 2048, 2178, 2232, 2286, 2312, 2366, 2400, 2592, 2744, 2888, 2904, 3000, 3200, 3456, 3528, 3584, 3630, 3698, 3872, 3968, 4056, 4232, 4320, 4536, 4608, 4704, 5000, 5400, 5408, 5600, 5832, 6050, 6144, 6272, 6728, 6776, 6936, 7200, 7442, 7680, 7688, 7776, 8064, 8192, 8664, 8712, 9248, 9600, 10368

Помимо куба, 5,7,9,11,13 степени тоже попадаются.

То есть, обобщая: попадаются только нечётные степени.

-- 10.08.2018, 12:31 --

Функция, которая возвращает $n$-й член последовательности:
  1. Ktina128983(n)=my(s1=0,s2=0);if(n%2==1,return(0));fordiv(n,d,if(d%2==1,s1=s1+d,s2=s2+d));return(s1*s2) 

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что в последовательности не встретится квадрат
Сообщение10.08.2018, 14:17 
Аватара пользователя


01/12/11
7282
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
wrest
За пункт б) спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что в последовательности не встретится квадрат
Сообщение10.08.2018, 17:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2432
Уфа
а) Нетрудно видеть, что для чётного числа $n\cdot 2^m$ (где $n$ — нечётное, а $m>0$) каждому нечётному делителю $d$ соответствуют ровно $m$ чётных ($2^1d$, ..., $2^md$). Поэтому, если сумма всех нечётных делителей равна $s=s(n)$, то интересующее нас произведение будет равно $2s^2(2^m-1)$. В разложении этого числа на простые множители двойка входит в нечётной степени, ч.т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что в последовательности не встретится квадрат
Сообщение11.08.2018, 08:45 
Аватара пользователя


01/12/11
7282
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
worm2
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group