Доказать, что в последовательности не встретится квадрат

[Ktina]

Для каждого натурального числа умножим сумму его чётных делителей на сумму его нечётных делителей, получим последовательность:

0 2 0 6 0 32 ...

а) Доказать, что в этой последовательности никогда не встретится квадрат, больший нуля.

б) Можно ли в этой последовательности встретить куб, больший нуля?

[wrest]

Ktina в сообщении #1331560 писал(а):

б) Можно ли в этой последовательности встретить куб, больший нуля?

Можно, например 20-й член.
И ещё дофига.
В первом миллионе членов последовательности встретились кубы следующих чисел:
6, 14, 18, 24, 30, 32, 56, 62, 72, 96, 120, 128, 200, 216, 224, 248, 270, 288, 338, 384, 392, 480, 486, 504, 510, 512, 558, 600, 648, 686, 800, 864, 882, 896, 968, 992, 1014, 1022, 1080, 1152, 1176, 1250, 1350, 1352, 1400, 1470, 1536, 1568, 1800, 1920, 1922, 1944, 2016, 2040, 2048, 2178, 2232, 2286, 2312, 2366, 2400, 2592, 2744, 2888, 2904, 3000, 3200, 3456, 3528, 3584, 3630, 3698, 3872, 3968, 4056, 4232, 4320, 4536, 4608, 4704, 5000, 5400, 5408, 5600, 5832, 6050, 6144, 6272, 6728, 6776, 6936, 7200, 7442, 7680, 7688, 7776, 8064, 8192, 8664, 8712, 9248, 9600, 10368

Помимо куба, 5,7,9,11,13 степени тоже попадаются.

То есть, обобщая: попадаются только нечётные степени.

-- 10.08.2018, 12:31 --

Функция, которая возвращает $n$-й член последовательности:

1. Ktina128983(n)=my(s1=0,s2=0);if(n%2==1,return(0));fordiv(n,d,if(d%2==1,s1=s1+d,s2=s2+d));return(s1*s2) 

[Ktina]

wrest
За пункт б) спасибо!

[worm2]

а) Нетрудно видеть, что для чётного числа $n\cdot 2^m$ (где $n$ — нечётное, а $m>0$) каждому нечётному делителю $d$ соответствуют ровно $m$ чётных ($2^1d$, ..., $2^md$). Поэтому, если сумма всех нечётных делителей равна $s=s(n)$, то интересующее нас произведение будет равно $2s^2(2^m-1)$. В разложении этого числа на простые множители двойка входит в нечётной степени, ч.т.д.

[Ktina]

worm2
Спасибо!