Модификация задачи о погоне

[Geen]

Joe Black в сообщении #1331562 писал(а):

хочется решить простую кинематическую задачу

Невозможно решить задачу ничего не решая У Вас есть решение, например, той задачи, что я во втором посте сформулировал?

[Joe Black]

имеем систему уравнений(пусть автобус начинает движение при $t = 0$):
$\begin{cases} (1) x_{bus} = V\cdot t\\(2) x_{p} = x_0 + u_x \cdot t \\(3) y_{p} = y_0 + u_y \cdot t \\(4) y_{p} = 0 \\(5) x_{p} \geq x_{bus} \end{cases}$

(1) - уравнение движения автобуса, (2-3) - уравнение движения пассажира, (4-5) - условия попадания на борт

подставляем (3) в (4): $y_0 + u_y t = 0 \Leftrightarrow t = -\dfrac{y_0}{u_y}$

подставляем (1, 2) в (5): $x_0 + u_x t \geq v t \Leftrightarrow x_0 + u_x t - v t \geq 0 $, подставляем $t: x_0 + \left(\dfrac{v y_0}{u_y} - \dfrac{u_x y_0}{u_y} \right) \geq 0$

далее $u_x = u \cos \alpha;\> u_y = u \sin \alpha \Rightarrow \> x_0 + y_0 \left( \dfrac{v}{u_y} - \ctg \alpha \right) \geq 0 $

-- 10.08.2018, 13:07 --

Да забыл, ещё есть условие $|x_0| = |y_0|$

[wrest]

Joe Black в сообщении #1331595 писал(а):

далее $u_x = u \cos \alpha;\> u_y = u \sin \alpha \Rightarrow \> x_0 + y_0 \left( \dfrac{v}{u_y} - \ctg \alpha \right) \geq 0 $

Ну дык чего ж $u_y = u \sin \alpha$ недоподставили, в первое слагемое в скобке?

Дальше еще для удобства сделайте замену $u/v=$ (или наоборот) какая буква вам нравится, хотя можно и так оставить. И найдите удовлетворяющие $\alpha$ (это как раз угол куды бечь).

[Joe Black]

Пусть $x_0 = y_0$, тогда

$ x_0 + y_0 \left( \dfrac{v}{u_y} - \ctg \alpha \right) \geq 0 $

$1 + \dfrac{v}{u_y} - \ctg \alpha \geq 0$

$\frac{u(\sin \alpha - \cos \alpha) + v \sin \alpha}{\sin \alpha} \geq 0$

$u(1 - \ctg \alpha) + v \geq 0 $, пусть $u/v \equiv \psi$

$\psi (1 - \ctg \alpha) + 1 \geq 0$

$\ctg \alpha \leq 1 + \dfrac{1}{\psi}$

$\ctg \alpha \leq \dfrac{u + v}{u}$

[EUgeneUS]

Это всё не дает ответа на вопрос из начального поста:

Joe Black в сообщении #1331488 писал(а):

Как максимизировать вероятность успеть на автобус?

Более того, дополнительно введенное условие:

Joe Black в сообщении #1331595 писал(а):

Да забыл, ещё есть условие $|x_0| = |y_0|$

Лишает этот вопрос всякого смысла (а смысл ранее был).

-- 10.08.2018, 13:57 --

Для удобства выберем другую систему отсчета:

1. Ось $X$ - вдоль дороги.
2. Ось $Y$ - перпендикулярно дороге и проходит через пассажира.

Тогда, начальные координаты (в момент, когда пассажир начинает движение)
1. Пассажира: $(0;y_p)$, причем $y_p$ известно.
2. Автобуса: $(x_a;0)$, причем $x_a$ неизвестно.

Что значит "максимизировать вероятность успеть на автобус"? Это означает, что область, где находится автобус в начальный момент времени, и когда на него успеваем максимальна. Очевидно, что если автобус из начального положения $x_1$ ловился, то он будет ловиться и из начального положения $x_2 < x_1$: просто приходим на дорогу и ждем автобус. Таким образом, задача сводится к максимизации $x_a$ по углу с которым пешеход идет к дороге.

[wrest]

Joe Black в сообщении #1331601 писал(а):

$\ctg \alpha \leq \dfrac{u + v}{u}$

Где-то ошибка, потому что так получается, что пассажир всегда успеет.

[Joe Black]

EUgeneUS в сообщении #1331602 писал(а):

Это всё не дает ответа на вопрос из начального поста:

Joe Black в сообщении #1331488 писал(а):

Как максимизировать вероятность успеть на автобус?

Более того, дополнительно введенное условие:

Joe Black в сообщении #1331595 писал(а):

Да забыл, ещё есть условие $|x_0| = |y_0|$

Лишает этот вопрос всякого смысла (а смысл ранее был).

-- 10.08.2018, 13:57 --

Для удобства выберем другую систему отсчета:

1. Ось $X$ - вдоль дороги.
2. Ось $Y$ - перпендикулярно дороге и проходит через пассажира.

Тогда, начальные координаты (в момент, когда пассажир начинает движение)
1. Пассажира: $(0;y_p)$, причем $y_p$ известно.
2. Автобуса: $(x_a;0)$, причем $x_a$ неизвестно.

Что значит "максимизировать вероятность успеть на автобус"? Это означает, что область, где находится автобус в начальный момент времени, и когда на него успеваем максимальна. Очевидно, что если автобус из начального положения $x_1$ ловился, то он будет ловиться и из начального положения $x_2 < x_1$: просто приходим на дорогу и ждем автобус. Таким образом, задача сводится к максимизации $x_a$ по углу с которым пешеход идет к дороге.

В любом случае пассажир начинает движения сразу же, начальные координаты автобуса известны (0;0)

[EUgeneUS]

Joe Black

Если начальные (в момент начала движения пешеходом) координаты и пешехода, и автобуса известны, то вопрос в стартовом сообщении о "максимизации вероятности встретить автобус" не имеет смысла. Пешеход, действуя оптимально, либо ловит автобус с вероятностью 1, либо не ловит с вероятностью 1.

[wrest]

Joe Black
Я бы предложил вам нарисовать картинку, ибо решение для отрицательного времени существует всегда, но вам оно не нужно, пассажир-то двигается во времени вперед, а не назад.
Поэтому будут ограничения, например, на угол и на знаки проекций скоростей: если у вас получилось что пассажир убегает от дороги, то возможно это из-за того, что при обратном ходе времени он к дороге приближается.

[DeBill]

Geen в сообщении #1331554 писал(а):

Вроде бы это не важно - нам ведь не нужно вычислить эту вероятность.

В таком случае, у нас получается задача типа "найдите точку максимума функции (неизвестной)". Я говорю : "а что за функция?" Вы отвечаете : "неважно, ведь нас не просят найти сам максимум, а токо точку максимума...."

[Geen]

DeBill в сообщении #1331652 писал(а):

Geen в сообщении #1331554 писал(а):

Вроде бы это не важно - нам ведь не нужно вычислить эту вероятность.

В таком случае, у нас получается задача типа "найдите точку максимума функции (неизвестной)". Я говорю : "а что за функция?" Вы отвечаете : "неважно, ведь нас не просят найти сам максимум, а токо точку максимума...."

Не, нам надо найти минимум интеграла неотрицательной функции варьируя верхний предел

[DeBill]

Geen в сообщении #1331653 писал(а):

Не, нам надо найти минимум интеграла неотрицательной функции варьируя верхний предел

Аааа, дошло.! И - да, я умею решать такую задачу!
Действительно, надо пилить под углом с косинусом, равным отношению скоростей.
(а при равенстве - параллельно дороге )

[EUgeneUS]

Geen

ИМХО, мы ищем максимум интеграла неотрицательной функции, варьируя верхний предел.
То есть нужно найти верхний предел, максимальный из возможных.

[Geen]

EUgeneUS в сообщении #1331664 писал(а):

ИМХО, мы ищем максимум интеграла неотрицательной функции, варьируя верхний предел.

Если максимум, то нижний предел...

Ёлки, столько уже понаписали....
Пусть автобус и пассажир движутся по произвольным законам (например, автобус - с постоянным ускорением, постоянной мощностью или ещё как, а пассажир огибает кусты и извиняется перед сбитыми старушками). При этом, автобус движется сам по себе (независимо от пассажира), а пассажир знает все эти законы и движется оптимально. Тогда существует непустая "зона перехвата" (которую надо уметь вычислять для произвольной текущей конфигурации), находясь в которой пассажир гарантированно перехватит автобус.
Единственное, что не знает пассажир, это время старта автобуса (и/или время его остановок на 13-ом или 42-ом километре).
В любом случае, внутри зоны перехвата пассажир может двигаться как угодно, а вне неё должен двигаться по траектории минимизирующей время попадания в эту зону....

[Sicker]

лол, надо всего лишь решить уравнение $\frac{x}{\sqrt{100+x^2}}=\frac{u}{v}$