Доказать, что сумма цифр не может равняться 11

[Ktina]

Что-то я не понимаю, почему все так запутались. Это простая кружковская задача, решается в несколько строчек. Считаю, что она годится для 5-го класса.

Написать решение или ещё подумаете?

-- 10.08.2018, 11:04 --

Cash в сообщении #1331535 писал(а):

$a+b=11$
$a-b=0$
$a, b$ - сумма цифр на четных и нечетных местах соответственно.

(Оффтоп)

Кодировать делимость на 11 таким образом, на мой взгляд, весьма безвкусно

Почему обязательно нулю? Для того, чтобы число делилось на 11, сумма цифр на чётных местах должна отличаться от суммы цифр на нечётных местах на число, кратное 11.

[wrest]

Ktina в сообщении #1331559 писал(а):

Почему обязательно нулю? Для того, чтобы число делилось на 11, сумма цифр на чётных местах должна отличаться от суммы цифр на нечётных местах на число, кратное 11.

Ну это-то как раз понятно, вся сумма $a+b=11$ по условию задачи.
По признаку делимости на 11, должно быть $11|(a-b)$ ($|$ значит "делит").
Значит или $a$ или $b$ равно нулю, иначе $a+b$ будет больше 11.

[yk2ru]

wrest в сообщении #1331575 писал(а):

вся сумма $a+b=11$ по условию задачи

Где такое условие?

[wrest]

yk2ru в сообщении #1331588 писал(а):

Где такое условие?

Вот:

Ktina в сообщении #1331511 писал(а):

сумма цифр числа $k$ (в десятичной записи) не равна 11.

Соответственно, чтобы проверить, мы предполагаем противное и хотим получить противоречие.

[Cash]

wrest в сообщении #1331575 писал(а):

Значит или $a$ или $b$ равно нулю, иначе $a+b$ будет больше 11.

Тут опечатка: или $a$ или $a-b$ равно нулю

[Ktina]

Тогда, в принципе, всё правильно.
Задача сводится к доказательству того, что сумма цифр степени числа 11 не равна 11.
У степени 11 сумма цифр может быть либо чётной (но тогда она не будет равна 11), либо иметь вид $2n+11$, но тогда сумма цифр на чётных с конца местах будет нулевой, следовательно, число будет оканчиваться на 01, а значит, показатель степени будет кратен 10. Но тогда всё число - квадрат, следовательно, не может иметь сумму цифр 11 (в противном случае давало бы остаток 2 при делении на 3).

[wrest]

Ktina в сообщении #1331608 писал(а):

число будет оканчиваться на 01, а значит, показатель степени будет кратен 10.

Почему 10?

[kotenok gav]

Cash в сообщении #1331535 писал(а):

$a-b=0$

А вдруг 11?

-- 10 авг 2018, 22:47 --

Cash в сообщении #1331535 писал(а):

$a-b=0$

А вдруг 11?

-- 10 авг 2018, 22:48 --

А, понял. Ну тогда просто: $2a=11$.

[Ktina]

wrest в сообщении #1331626 писал(а):

Ktina в сообщении #1331608 писал(а):

число будет оканчиваться на 01, а значит, показатель степени будет кратен 10.

Почему 10?

Потому что если степень числа 11 даёт остаток 1 по модулю 100 и её показатель натурален, то он кратен 10. Рассмотрите остатки по модую 100 для различных степеней числа 11.