2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Доказать, что сумма цифр не может равняться 11
Сообщение10.08.2018, 01:14 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Сумма всех простых чисел, на которые делится натуральное число $k$, равна 11.
Доказать, что сумма цифр числа $k$ (в десятичной записи) не равна 11.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма цифр не может равняться 11
Сообщение10.08.2018, 07:41 


21/05/16
4292
Аделаида
Ktina в сообщении #1331511 писал(а):
Сумма всех простых чисел, на которые делится натуральное число $k$, равна 11.

Следовательно, $k=11$. 2 не равно 11.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма цифр не может равняться 11
Сообщение10.08.2018, 07:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
А степени? Надо проверить все $11^{6k+1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма цифр не может равняться 11
Сообщение10.08.2018, 07:55 


21/05/16
4292
Аделаида
gris в сообщении #1331533 писал(а):
$11^{6k+1}$.

Чтобы остаток от деления на 9 был равен 2?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма цифр не может равняться 11
Сообщение10.08.2018, 08:23 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
$a+b=11$
$a-b=0$
$a, b$ - сумма цифр на четных и нечетных местах соответственно.

(Оффтоп)

Кодировать делимость на 11 таким образом, на мой взгляд, весьма безвкусно

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма цифр не может равняться 11
Сообщение10.08.2018, 08:27 


05/09/16
11469
Есть несколько простых чисел сумма которых равна 11. Значит их не несколько а только одно -- 11.
Значит $k=11^n$ и надо проверить все такие $k$
Проверит надо только $n=0..3$ т.к. начиная с $n=4$ сумма цифр больше $11$
Проверяем .... нет, не подходит. Всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма цифр не может равняться 11
Сообщение10.08.2018, 08:31 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
wrest в сообщении #1331536 писал(а):
Проверит надо только $n=0..3$ т.к. начиная с $n=4$ сумма цифр больше $11$


Сможете доказать это утверждение? Выглядит очень сложным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма цифр не может равняться 11
Сообщение10.08.2018, 08:49 


05/09/16
11469
Cash
Вот несколько первых сумм цифр степеней 11, начиная с первой:
2 4 8 16 14 28 38 40 53 43 41 55 47 76 71 88 86 82 83 94 71 97 95

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма цифр не может равняться 11
Сообщение10.08.2018, 08:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Я бы всё же соединил воедино своё показание, что показатель степени должен равняться $6k+1$, и следствие из показания Cash, что вторая цифра от конца должна равняться нулю. Они противоречивы. Предпоследний ноль бывает только у степеней с показателем кратным десяти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма цифр не может равняться 11
Сообщение10.08.2018, 08:55 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
wrest, это не доказательство. При всём уважении...

-- Пт авг 10, 2018 08:56:36 --

gris, вы не ищете простых путей :D
Я даже затрудняюсь это следствие из своих показаний вывести

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма цифр не может равняться 11
Сообщение10.08.2018, 08:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Cash, простота хороша только в числах :-)
Я Ваш намёк сразу понял. Ведь Вы сказали, что так кодировать признак делимости на $11$ некошерно. Значит, кодируем так: $a+b=11;|a-b|=11$. И вот получаем, что либо все числа на нечётных местах равны нулю, либо на чётных. На первом, то есть нечётном, всегда единица. То есть, на чётных от конца одни нули. (Таких кратных одиннадцати много, даже с единичкой на конце: например, $20801$ или $103050101$. Но степеней одиннадцати нет, как будто и не было никогда :-( )

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма цифр не может равняться 11
Сообщение10.08.2018, 09:08 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
gris, :appl:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма цифр не может равняться 11
Сообщение10.08.2018, 09:10 


03/10/06
826
Сумма будет чётной - из признака делимости на 11.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма цифр не может равняться 11
Сообщение10.08.2018, 09:56 


05/09/16
11469
Cash в сообщении #1331543 писал(а):
это не доказательство. При всём уважении...

Нет, не доказательство.
Но вот как ведет себя сумма цифр $sumdigits(11^n)/n$ для $n=1..10000$
Изображение
Просто, для наглядности. $sumdigits(11^n) \approx 4,68n$
Так же ведут себя и остальные степени $n^k$, посмотрел до $n=30$ (везде $k=1..10000$). Ну естественно, кроме десятки и её степеней.

(Оффтоп)

n=01 sumdigits/n=0.00
n=02 sumdigits/n=1.36
n=03 sumdigits/n=2.15
n=04 sumdigits/n=2.71
n=05 sumdigits/n=3.14
n=06 sumdigits/n=3.50
n=07 sumdigits/n=3.80
n=08 sumdigits/n=4.07
n=09 sumdigits/n=4.30
n=10 sumdigits/n=0.00
n=11 sumdigits/n=4.68
n=12 sumdigits/n=4.86
n=13 sumdigits/n=5.02
n=14 sumdigits/n=5.16
n=15 sumdigits/n=5.30
n=16 sumdigits/n=5.42
n=17 sumdigits/n=5.54
n=18 sumdigits/n=5.65
n=19 sumdigits/n=5.76
n=20 sumdigits/n=1.36
n=21 sumdigits/n=5.95
n=22 sumdigits/n=6.04
n=23 sumdigits/n=6.13
n=24 sumdigits/n=6.21
n=25 sumdigits/n=6.29
n=26 sumdigits/n=6.37
n=27 sumdigits/n=6.44
n=28 sumdigits/n=6.52
n=29 sumdigits/n=6.58
n=30 sumdigits/n=2.15


-- 10.08.2018, 09:59 --

gris в сообщении #1331544 писал(а):
Но степеней одиннадцати нет, как будто и не было никогда

Ну, как говорит ув. Cash, "это не доказательство, при всем уважении" :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма цифр не может равняться 11
Сообщение10.08.2018, 10:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
А мне он такого не говорил :-)
Вообще, есть чисто интуитивное отношение у рассуждениям. Некоторые бывают очень мутными и легковесными, но ощущается, что их можно довести до кристальной строгости. А другие бывают ясными, достоверными и даже убедительными и правдоподобными (Пойа!), но сами по себе совершенно не доказательными. Даже при полнейшем уважении и преклонении перед пакетами.
Моё рассуждение можно переписать хоть в кванторах, хоть в словах, но я подозреваю, что есть очень простая разгадка этой загадки. Лишь чувство противоречия простоте заставляет приводить запутанные решения. В моём присутствуют любимые ТС слова: арифмост, бином, чётное vs нечётное.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group