Доказать, что сумма цифр не может равняться 11

[Ktina]

Сумма всех простых чисел, на которые делится натуральное число $k$, равна 11.
Доказать, что сумма цифр числа $k$ (в десятичной записи) не равна 11.

[kotenok gav]

Ktina в сообщении #1331511 писал(а):

Сумма всех простых чисел, на которые делится натуральное число $k$, равна 11.

Следовательно, $k=11$. 2 не равно 11.

[gris]

А степени? Надо проверить все $11^{6k+1}$.

[kotenok gav]

gris в сообщении #1331533 писал(а):

$11^{6k+1}$.

Чтобы остаток от деления на 9 был равен 2?

[Cash]

$a+b=11$
$a-b=0$
$a, b$ - сумма цифр на четных и нечетных местах соответственно.

(Оффтоп)

Кодировать делимость на 11 таким образом, на мой взгляд, весьма безвкусно

[wrest]

Есть несколько простых чисел сумма которых равна 11. Значит их не несколько а только одно -- 11.
Значит $k=11^n$ и надо проверить все такие $k$
Проверит надо только $n=0..3$ т.к. начиная с $n=4$ сумма цифр больше $11$
Проверяем .... нет, не подходит. Всё.

[Cash]

wrest в сообщении #1331536 писал(а):

Проверит надо только $n=0..3$ т.к. начиная с $n=4$ сумма цифр больше $11$

Сможете доказать это утверждение? Выглядит очень сложным.

[wrest]

Cash
Вот несколько первых сумм цифр степеней 11, начиная с первой:
2 4 8 16 14 28 38 40 53 43 41 55 47 76 71 88 86 82 83 94 71 97 95

[gris]

Я бы всё же соединил воедино своё показание, что показатель степени должен равняться $6k+1$, и следствие из показания Cash, что вторая цифра от конца должна равняться нулю. Они противоречивы. Предпоследний ноль бывает только у степеней с показателем кратным десяти.

[Cash]

wrest, это не доказательство. При всём уважении...

-- Пт авг 10, 2018 08:56:36 --

gris, вы не ищете простых путей
Я даже затрудняюсь это следствие из своих показаний вывести

[gris]

Cash, простота хороша только в числах
Я Ваш намёк сразу понял. Ведь Вы сказали, что так кодировать признак делимости на $11$ некошерно. Значит, кодируем так: $a+b=11;|a-b|=11$. И вот получаем, что либо все числа на нечётных местах равны нулю, либо на чётных. На первом, то есть нечётном, всегда единица. То есть, на чётных от конца одни нули. (Таких кратных одиннадцати много, даже с единичкой на конце: например, $20801$ или $103050101$. Но степеней одиннадцати нет, как будто и не было никогда )

[Cash]

gris,

[yk2ru]

Сумма будет чётной - из признака делимости на 11.

[wrest]

Cash в сообщении #1331543 писал(а):

это не доказательство. При всём уважении...

Нет, не доказательство.
Но вот как ведет себя сумма цифр $sumdigits(11^n)/n$ для $n=1..10000$

Просто, для наглядности. $sumdigits(11^n) \approx 4,68n$
Так же ведут себя и остальные степени $n^k$, посмотрел до $n=30$ (везде $k=1..10000$). Ну естественно, кроме десятки и её степеней.

(Оффтоп)

n=01 sumdigits/n=0.00
n=02 sumdigits/n=1.36
n=03 sumdigits/n=2.15
n=04 sumdigits/n=2.71
n=05 sumdigits/n=3.14
n=06 sumdigits/n=3.50
n=07 sumdigits/n=3.80
n=08 sumdigits/n=4.07
n=09 sumdigits/n=4.30
n=10 sumdigits/n=0.00
n=11 sumdigits/n=4.68
n=12 sumdigits/n=4.86
n=13 sumdigits/n=5.02
n=14 sumdigits/n=5.16
n=15 sumdigits/n=5.30
n=16 sumdigits/n=5.42
n=17 sumdigits/n=5.54
n=18 sumdigits/n=5.65
n=19 sumdigits/n=5.76
n=20 sumdigits/n=1.36
n=21 sumdigits/n=5.95
n=22 sumdigits/n=6.04
n=23 sumdigits/n=6.13
n=24 sumdigits/n=6.21
n=25 sumdigits/n=6.29
n=26 sumdigits/n=6.37
n=27 sumdigits/n=6.44
n=28 sumdigits/n=6.52
n=29 sumdigits/n=6.58
n=30 sumdigits/n=2.15

-- 10.08.2018, 09:59 --

gris в сообщении #1331544 писал(а):

Но степеней одиннадцати нет, как будто и не было никогда

Ну, как говорит ув. Cash, "это не доказательство, при всем уважении"

[gris]

А мне он такого не говорил
Вообще, есть чисто интуитивное отношение у рассуждениям. Некоторые бывают очень мутными и легковесными, но ощущается, что их можно довести до кристальной строгости. А другие бывают ясными, достоверными и даже убедительными и правдоподобными (Пойа!), но сами по себе совершенно не доказательными. Даже при полнейшем уважении и преклонении перед пакетами.
Моё рассуждение можно переписать хоть в кванторах, хоть в словах, но я подозреваю, что есть очень простая разгадка этой загадки. Лишь чувство противоречия простоте заставляет приводить запутанные решения. В моём присутствуют любимые ТС слова: арифмост, бином, чётное vs нечётное.