Логистическое отображение f(x)=ax(1-x)

[Otta]

BoBuk в сообщении #1330962 писал(а):

Эта картина пока что полностью соответствует заявленному в руководствах значению первого аттрактора, равному $3$.

Аттракторы (=периодические точки) - это точки отрезка $[0,1]$, а не значения параметра.

BoBuk в сообщении #1330960 писал(а):

Я в том смысле... Заметьте, какое значение представляет число $a$. Оно равно в данном случае $1+ 10^{-15}$. А не $1$.

Вот это я не очень поняла. $a$ вообще-то меняется, мы диаграмму строим для разных $a$ (как - я пока не вникаю).

[BoBuk]

Otta в сообщении #1330964 писал(а):

BoBuk в сообщении #1330960 писал(а):

Я в том смысле... Заметьте, какое значение представляет число $a$. Оно равно в данном случае $1+ 10^{-15}$. А не $1$.

Вот это я не очень поняла. $a$ вообще-то меняется, мы диаграмму строим для разных $a$ (как - я пока не вникаю).

Прошу меня извинить. Это я внёс путаницу.
В формуле $x_{n+1}=ax_n(1-x_n)$ число $a$ в программе оно обозначается, как $J$. А значение $a$ в тексте программы заменяет единицу.
Тогда точнее будет переписать основную формулу, как
$x_{n+1}=Jx_n(a-x_n)$
То есть, здесь $a\approx 1$

[Otta]

Так, а сейчас вопрос какой? :) Что у Вас переменные в теле программы обозначены по-другому, я заметила. Теперь это заметили Вы ) Отлично. Вопрос изменился, остался или исчез?

[BoBuk]

Otta в сообщении #1330971 писал(а):

Так, а сейчас вопрос какой? :) Что у Вас переменные в теле программы обозначены по-другому, я заметила. Теперь это заметили Вы ) Отлично. Вопрос изменился, остался или исчез?

Ну и хорошо, что Вы это заметили. На всякий случай повторю, так сказать, новую редакцию основной формулы
$x_{n+1}=Jx_n(a-x_n)$
вдруг вы всё же решите проверить программу на Mathematica имени Вольфрама. (В перерывах между генерацией шуток).
Разумеется, вопрос остался.
Вы не обратили внимания на то, что вместо единицы здесь используется число, близкое к ней. В данном случае, оно и есть $a$.
И ещё раз сожалею, что у вас не установлена программа Mathematica. Вы бы смогли насладиться очень небезынтересными вещами.

[Otta]

BoBuk в сообщении #1330974 писал(а):

вдруг вы всё же решите проверить программу на Mathematica имени Вольфрама. (В перерывах между генерацией шуток).

А я не шучу (с).

BoBuk в сообщении #1330974 писал(а):

Вы не обратили внимания на то, что вместо единицы здесь используется число, близкое к ней. В данном случае, оно и есть $a$.

Заметила. Это без разницы. Ваше уравнение остается логистическим, соответствующую картинку можно получить растяжением-сжатием вдоль осей $x, y$ в $a$ раз. $a$ практически неотличимо от единицы, поэтому можно считать, что она будет такой же. По крайней мере качественно - такой же. Точки бифуркации тоже изменятся в $a$ раз. Убедитесь в этом самостоятельно, пожалуйста. Визуально диаграммы для этих двух логистических уравнений, исходного и Вашего, неразличимы.

BoBuk в сообщении #1330974 писал(а):

И ещё раз сожалею, что у вас не установлена программа Mathematica.

Как я вижу, иногда она только мешает. Программа ничего не дает, когда не понимаешь, что хочешь получить.

[BoBuk]

Otta в сообщении #1330976 писал(а):

BoBuk в сообщении #1330974 писал(а):

Вы не обратили внимания на то, что вместо единицы здесь используется число, близкое к ней. В данном случае, оно и есть $a$.

Заметила. Это без разницы. Ваше уравнение остается логистическим, соответствующую картинку можно получить растяжением-сжатием вдоль осей $x, y$ в $a$ раз. $a$ практически неотличимо от единицы, поэтому можно считать, что она будет такой же. По крайней мере качественно - такой же. Точки бифуркации тоже изменятся в $a$ раз. Убедитесь в этом самостоятельно, пожалуйста.

Вот и пытаюсь убедиться, но не получается.
При $a = 1 + 10^{-16}$ происходит резкое качественное изменение графика. Я понимаю, что это артефакт самой программы Mathematica, но сей факт меня сильно заинтриговал.
Вы поймите, я не собираюсь ничего опровергать, мне просто хочется получить подтверждение, что первая бифуркация происходит на числе $3$ средствами программы Mathematica.

Otta в сообщении #1330976 писал(а):

BoBuk в сообщении #1330974 писал(а):

И ещё раз сожалею, что у вас не установлена программа Mathematica.

Как я вижу, иногда она только мешает. Программа ничего не дает, когда не понимаешь, что хочешь получить.

Ну почему же? Очень хорошо понимаю.
Хочу получить точку бифуркации как можно более точно, чтобы проверить утверждение, что она стремится к числу $3$.

[Otta]

BoBuk в сообщении #1330985 писал(а):

При $a = 1 + 10^{-16}$ происходит резкое качественное изменение графика

В сравнении с чем?

BoBuk в сообщении #1330985 писал(а):

что первая бифуркация происходит на числе $3$

В Вашем случае она будет происходить при $J=3/(1+10^{-16})$.

BoBuk в сообщении #1330985 писал(а):

что она стремится к числу $3$.

Слово "стремится" в этом контексте не используется.

[BoBuk]

Otta в сообщении #1330987 писал(а):

BoBuk в сообщении #1330985 писал(а):

При $a = 1 + 10^{-16}$ происходит резкое качественное изменение графика

В сравнении с чем?

В сравнении с $a = 1 + 10^{-15}$

Otta в сообщении #1330987 писал(а):

В Вашем случае она будет происходить при $J=3/(1+10^{-16})$.

Похоже, вы явно меня не понимаете, либо я ну очень плохо разъясняю. Скорей второе.

Otta в сообщении #1330987 писал(а):

BoBuk в сообщении #1330985 писал(а):

что она стремится к числу $3$.

Слово "стремится" в этом контексте не используется.

Давайте, я вам лучше приведу график. Сейчас, подождите...

-- Вт авг 07, 2018 09:57:31 --

Вот вам график для 300 итераций, которые отображены полностью, все 300.



Красной стрелкой показано то место, куда стремится видимое "соединение" чётных и нечётных линий итераций. Если вы замените 300 на 600, то эта видимая точка "слияния" итераций будет ещё ближе к числу $3$ на графике.

Причём, замечу, что здесь на графике координате на оси абцисс соответствует значение $J$.

[grizzly]

BoBuk в сообщении #1330988 писал(а):

В сравнении с $a = 1 + 10^{-15}$

BoBuk в сообщении #1330988 писал(а):

Вот вам график для 300 итераций, которые отображены полностью, все 300.

Если вдруг Вы видите какое-то качественное изменение между графиками для случаев $a=1+10^{-15}$ и $a=1+10^{-16}$, то приведите оба эти графика. Почему Вы эту разницу демонстрируете графиком при $a=1+10^{-6}$ (на картинке указано именно такое $a$) совершенно не понятно.

Просто покажите графики, не употребляя слов, которых Вы не понимаете уверенно. Если по графикам будет понятно, чем они могли впечатлить Вас, то эти слова не понадобятся. Если нет, то тем более. Графики сделайте "при прочих равных" (то есть при всех, кроме одного только $a$).

[Geen]

BoBuk в сообщении #1330985 писал(а):

При $a = 1 + 10^{-16}$ происходит резкое качественное изменение графика.

Что означает только что вычисления ведутся с точностью double...

[Someone]

Wolfram Mathematica имеет средства управления точностью численных расчётов.

[Geen]

Вот давайте только определимся что мы обсуждаем - исходное отображение, упомянутое в заголовке (включая "точки бифуркации" и асимптотику); артефакты численных методов; особенности Математики; или замес всего этого, устроенный ТС (включая выбор начального значения для итераций)

[Otta]

Единица, конечно, дурной выбор. Но уж если выбирать единицу, то по оси ординат включать весь отрезок $[0,a]$. На обеих картинках. И число итераций ставить равное. Можно обрезать, но одинаково обрезать. И ширину картинки ставить одинаковую. В общем, в полном соответствии с

grizzly в сообщении #1330994 писал(а):

Графики сделайте "при прочих равных" (то есть при всех, кроме одного только $a$).

[BoBuk]

Geen в сообщении #1331005 писал(а):

Вот давайте только определимся что мы обсуждаем - исходное отображение, упомянутое в заголовке (включая "точки бифуркации" и асимптотику); артефакты численных методов; особенности Математики; или замес всего этого, устроенный ТС (включая выбор начального значения для итераций)

Точку бифуркации обсуждаем. Первую по счёту точку бифуркации. Ту самую, которая равна числу $3$.
Логистическое отображение задано. Оно
$x_{n+1}=Jx_n(a-x_n)$
Я просто постепенно подвожу к проблеме. Чтобы не было никаких разночтений и недопониманий. И вы все мне растолкуете, в чём была моя ошибка.

[Cos(x-pi/2)]

(ссылка на книжку; может быть, не самая удачная.)

Осмелюсь привести ссылку на старенькую книгу. (Наверняка математики знают много хороших публикаций; я не математик, скорее бывший физик-экспериментатор, и эта книга мне тогда очень понравилась. Наверное, просто потому, что из неё впервые узнал о подобных делах и, кажется, что-то немножко понял :-)

Г. Шустер, Детерминированный хаос, М. "Мир" 1988 (в этой версии скана в конце есть цветные фото (правда, они не нужны для логистического отображения); в сети попадается также скан без фото). Логистическое отображение там изучается, в том числе аналитически, в главе 3; пропускать предыдущие главы не стоит.