Логистическое отображение f(x)=ax(1-x)

[BoBuk]

Дано логистическое отображение $f(x)=ax(1-x)$
Его также можно записать, как $x_{n+1}=ax_n(1-x_n)$

Цитирую Википедию:
"При $a=3$ происходит первая бифуркация удвоения периода, в результате которой неподвижная точка теряет устойчивость".
Конец цитаты.

У меня вопрос к присутствующим. Первая бифуркация действительно происходит на $a=3$ ? Или, всё-таки, $a>3$ ?

[Otta]

BoBuk в сообщении #1330916 писал(а):

Первая бифуркация действительно происходит на $a=3$

Действительно.
При $a>3$ я не знаю, как Вы себе представляете - момент бифуркации не может длиться на всем промежутке. Другое дело, что на нем продолжает идти т.н. каскад бифуркаций удвоения периода, точек бифуркации будет еще много, - но в Вашей цитате речь о первой.

[BoBuk]

Да, я имею ввиду именно ПЕРВУЮ бифуркацию.
Дело заключается в том, что вольфрамовская математика показывает нечто, заставляющее задуматься.
Кстати, уважаемый Otta, Вы сами не пробовали вычислять эту функцию? (На любом калькуляторе).

[Otta]

BoBuk в сообщении #1330919 писал(а):

Кстати, уважаемый Otta, Вы сами не пробовали вычислять эту функцию? (На любом калькуляторе).

Какую? :)

[BoBuk]

Otta в сообщении #1330920 писал(а):

BoBuk в сообщении #1330919 писал(а):

Кстати, уважаемый Otta, Вы сами не пробовали вычислять эту функцию? (На любом калькуляторе).

Какую? :)

$x_{n+1}=ax_n(1-x_n)$

[Otta]

Пока не знаю зачем. ) А что с ней не так? (кроме того, что оно не функция)
Это раз. А два: при разных значениях параметра оно будет очень по-разному себя вести. Так что сперва надо определиться с целями.

[grizzly]

BoBuk в сообщении #1330916 писал(а):

Первая бифуркация действительно происходит на $a=3$ ? Или, всё-таки, $a>3$ ?

Ну так попробуйте задать простенький цикл и сами убедитесь. Если у Вас после какого-то количества итераций значения стабилизируются вплоть до 6-го знака (при $a=3$), дайте знать, будет любопытно.

[BoBuk]

Otta в сообщении #1330923 писал(а):

Пока не знаю зачем. ) А что с ней не так? (кроме того, что оно не функция)
Это раз. А два: при разных значениях параметра оно будет очень по-разному себя вести. Так что сперва надо определиться с целями.

1. Это логистическое отображение.
2. Теперь я не понял. Ну давайте определимся с целями. Цель - выяснить на практике, не переходит ли первая бифуркация через число 3. По идее, точка бифуркации стремится к числу 3 и никогда её не пересекает.

[dsge]

Самая первая бифуркация, по определению, - это когда (т.е. при значении параметра) производная функции (правой части) в неподвижной точке становится равной единице по модулю. Для параболы можно сосчитать вручную и без вольфрама.

[Otta]

BoBuk
Точка бифуркации - это конкретное значение параметра. Оно не может "стремиться". Чтобы это слово вообще употреблять, у Вас должна быть база для предельного перехода.

BoBuk в сообщении #1330926 писал(а):

1. Это логистическое отображение.

Я вижу. А что вычислять-то?

[BoBuk]

grizzly в сообщении #1330925 писал(а):

BoBuk в сообщении #1330916 писал(а):

Первая бифуркация действительно происходит на $a=3$ ? Или, всё-таки, $a>3$ ?

Ну так попробуйте задать простенький цикл и сами убедитесь. Если у Вас после какого-то количества итераций значения стабилизируются вплоть до 6-го знака (при $a=3$), дайте знать, будет любопытно.

Уже.
Уже всё вычислено. Ибо, это очень несложно.
Я могу привести текст программы на Mathematica. Если вы не возражаете.
Я понимаю, что вычисления на компьютере не могут быть признаны доказательством, но я ничего и не доказываю, я просто интересуюсь.
6 точных знаков - это крайне мало и не интересно. На 6 знаках всё происходит, как и утверждается в уважаемых изданиях.

-- Пн авг 06, 2018 21:48:00 --

Otta в сообщении #1330928 писал(а):

BoBuk
Точка бифуркации - это конкретное значение параметра. Оно не может "стремиться". Чтобы это слово вообще употреблять, у Вас должна быть база для предельного перехода.

BoBuk в сообщении #1330926 писал(а):

1. Это логистическое отображение.

Я вижу. А что вычислять-то?

Вычислять точку бифуркации. Первой бифуркации. Она хорошо проявляется на нескольких десятках итераций.

[grizzly]

BoBuk
Подскажите, пожалуйста, как Вы распознаёте бифуркацию. Что-то Вы немного странное рассказываете.

[Otta]

BoBuk в сообщении #1330929 писал(а):

Я могу привести текст программы на Mathematica. Если вы не возражаете.

Приводите, конечно, просто это немного не так делается. Но все равно интересно.

[BoBuk]

grizzly в сообщении #1330931 писал(а):

BoBuk
Подскажите, пожалуйста, как Вы распознаёте бифуркацию. Что-то Вы немного странное рассказываете.

Что уж тут странного. Логистическое отображение (и в частности, рассматриваемое выражение) описано во всех учебных пособиях.

[Otta]

BoBuk
Вас же не спросили, как Вы распознаете логистическую функцию. Вас спросили, как Вы распознаете бифуркацию. Вы же об этом говорили.