Непрерывный передел модели Изинга

[coagulator]

Здравствуйте, читаю книгу Subir Sachdev "Quantum Phase Transitions" и "потерялся" в одном моменте.

Рассматривается следующий гамильтониан (квантовая 1D модель Изинга в поперечном поле):

$$H=-J\sum_i(g\sigma_i^x+\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z),$$

где магнитное поле обозначено $h=gJ$. Из этого гамильтониана путем преобразования Jordan-Wigner, Sachdev получает следующий гамильтониан, выраженный через фермионные операторы $c, c^{\dagger}$ (рождающие фермионы в i-узле):

$$H=-\sum_i\left[J(c_i^{\dagger}c_{i+1}+c^{\dagger}_{i+1}c_i+c_i^{\dagger}c_{i+1}^{\dagger}+c_ic_{i+1})-2hc^{\dagger}_ic_i+h\right],$$

откуда при помощи дискретного преобразования Фурье можно получить

$$H=\sum_{k}[2(h-J\cos ka)c^{\dagger}_kc_k+iJ\sin ka(c_{-k}^{\dagger}c_k^{\dagger}+c_{-k}c_k)-h].$$

Затем Sachdev исследует непрерывный предел полученного гамильтониана, путем введения фермионного поля $\psi(x_i)=c_i/\sqrt{a}$ и взятия предела $a\rightarrow 0$. Он получает следующий лагранжиан непрерывной модели:

$$\mathcal{L}=\psi^{\dagger}\partial_{\tau}\psi^{\dagger}+\frac{v}{2}(\psi^{\dagger}\partial_x\psi^{\dagger}-\psi\partial_x\psi)+\Delta\psi^{\dagger}\psi,$$

где $\Delta=2(J-h)$ и $v=2Ja$ и $\tau$ есть евклидово время. Мне непонятно каким образом возникает член, содержащий производную по евклидовому времени. Судя по тому, что я видел у Зи, это слагаемое как-то связано с фазой Берри, однако это мне нисколько не помогает. Кроме того, неоднократно упоминается, что полученный лагранжиан имеет связь с фермионами Майораны, но опять же: полученные из лагранжиана уравнения движения не помогают мне увидеть этой связи.

Моя главная цель - это вычислить евклидов интеграл по путям с таким лагранжианом с учетом того, что фермионное поле является грассмановым и получить выражение для статсуммы модели Изинга в непрерывном пределе и исследовать что будет при $\Delta\rightarrow 0$, т.к. при $\Delta=0$ 1D квантовая модель Изинга эквивалентна 2D классической модели Изинга при $T=T_c$.

Подводя итоги, помогите пожалуйста разобраться откуда возникает слагаемое с производной по времени и как полученный лагранжиан связан с фермионами Майораны.

[coagulator]

В вопросе опечатка, слагаемое с производной по времени должно быть таким: $\psi^{\dagger}\partial_{\tau}\psi$

[Gickle]

coagulator в сообщении #1330707 писал(а):

Судя по тому, что я видел у Зи, это слагаемое как-то связано с фазой Берри, однако это мне нисколько не помогает.

Так и есть, это легко видеть, если использовать так называемый coherent state path integral (см. главу 9.2 у того же Сачдева или, например, 2.3 в "Quantum Field Theory of Many-Body Systems" X.-G. Wen).

coagulator в сообщении #1330707 писал(а):

Кроме того, неоднократно упоминается, что полученный лагранжиан имеет связь с фермионами Майораны, но опять же: полученные из лагранжиана уравнения движения не помогают мне увидеть этой связи.

Майорановские фермионы - это те, которые являются античастицами сами себе, то есть $\hat{a}_i = \hat{a}_i^{\dagger}$. Если посмотреть на (10.10) и (10.23), то можно понять, что в данном случае фермионное поле дираковское, а не майорановское. Но несложно прикинуть, как получить последнее: взять действительную и мнимую части. Более подробно можно почитать, скажем, в 5.5 "Field Theories of Condensed Matter Physics" E. Fradkin или в конспекте "Where do quantum field theories come from?" J. McGreevy.

Цитата:

т.к. при $\Delta=0$ 1D квантовая модель Изинга эквивалентна 2D классической модели Изинга при $T=T_c$.

Разве это нужно? Может, я уже чего подзабыл, конечно, но я сходу не вижу, зачем вдруг quantum-classical mapping только в критической точке работает.

[coagulator]

Gickle, огромное спасибо Вам!

По поводу quantum-to-classical mapping: не только в крит точке, конечно, но мне было именно интересно как выглядит partition function непрерывного предела и что происходит с ней при $\Delta\rightarrow 0$

Еще раз благодарю за разъяснения! Я долго возился с этим и сильно запутался.

-- 06.08.2018, 11:40 --

Цитата:

Так и есть, это легко видеть, если использовать так называемый coherent state path integral (см. главу 9.2 у того же Сачдева или, например, 2.3 в "Quantum Field Theory of Many-Body Systems" X.-G. Wen).

9.2 посвящена transport equations, все верно?

Цитата:

Майорановские фермионы - это те, которые являются античастицами сами себе, то есть $\hat{a}_i = \hat{a}_i^{\dagger}$. Если посмотреть на (10.10) и (10.23), то можно понять, что в данном случае фермионное поле дираковское, а не майорановское. Но несложно прикинуть, как получить последнее: взять действительную и мнимую частию.

не могли бы Вы сказать по какой книге даете номера уравнений?

[Gickle]

coagulator

coagulator в сообщении #1330854 писал(а):

9.2 посвящена transport equations, все верно?

Нет, глава называется "Boson Hubbard model", раздел - "Coherent state path integral". Там, правда, бозонный случай, но суть та же. Фермионный можно у того же McGreevy посмотреть, например, в деталях. Или в практически любой другой книге по КТП.

coagulator в сообщении #1330854 писал(а):

не могли бы Вы сказать по какой книге даете номера уравнений?

По Сачдеву и даю, но, по всей видимости, у нас издания разные. У меня второе издание, 2011 год.

coagulator в сообщении #1330854 писал(а):

но мне было именно интересно как выглядит partition function непрерывного предела и что происходит с ней при $\Delta\rightarrow 0$

С точки зрения КТП здесь вот какая фишка важна: в критической точке $\Delta = 0$ теория становится конформно-инвариантной. Это очень мощная симметрия. Например, она даёт ограничение и на форму статистической суммы (можете прикинуть, как в случае отсутствия масштабов энергий должна выглядеть $Z$). А ещё она позволяет получить из $T=0$ результаты для $T > 0$ (чего мы на самом деле и хотим, разумеется, поскольку случай $T = 0$, очевидно, не наблюдаем в эксперименте).

(Оффтоп)

При обращении старайтесь либо жмакать по никнейму человека, либо просто выделяйте жирным вручную. Так адресат получит уведомление о сообщении. Цитаты отдельных кусков сообщения удобно и принято делать при помощи кнопки "Вставка". К слову, при таком цитировании человек опять же получает уведомление.

[coagulator]

Gickle, еще раз спасибо за ответ!

Я правильно понимаю, что слагаемое с фазой Берри ("временное" слагаемое) просто из гамильтониана получить нельзя? Это единственный вопрос, который смущает меня.

По поводу конформной инвариантности: при $\Delta=0$ попросту пропадает "массивное" слагаемое, а что делать со слагаемым фазы Берри? Смотрел книгу по конформной теории поля P. Di Francesco, где авторы при анализе модели Изинга выписывают действие с лагранжианом без фазы Берри.

Для вычисления $\mathcal{Z}$ по полям $\psi$ и $\psi^{\dagger}$ достаточно же использовать анти-период. гран условия, разложить поля в ряды Фурье и затем просто считать, что поля грассмановы?

[Gickle]

coagulator

coagulator в сообщении #1330869 писал(а):

Я правильно понимаю, что слагаемое с фазой Берри ("временное" слагаемое) просто из гамильтониана получить нельзя?

Да, это результат того, что мы работаем в базисе когерентных состояний, а результирующее действие/лагранжиан нужно понимать в смысле интеграла по траекториям в этом базисе. Мне очень нравится в таких случаях указывать в пример $H = 0$, который наглядно иллюстрирует, что фаза Берри - продукт не гамильтониана системы (отсылаю опять к тому же параграфу X.-G. Wen).

coagulator в сообщении #1330869 писал(а):

а что делать со слагаемым фазы Берри?

А зачем с ним что-то делать?

coagulator в сообщении #1330869 писал(а):

Смотрел книгу по конформной теории поля P. Di Francesco, где авторы при анализе модели Изинга выписывают действие с лагранжианом без фазы Берри.

Никогда с этой книгой не имел дел, так что ничего сказать не могу.

coagulator в сообщении #1330869 писал(а):

Для вычисления $\mathcal{Z}$ по полям $\psi$ и $\psi^{\dagger}$ достаточно же использовать анти-период. гран условия, разложить поля в ряды Фурье и затем просто считать, что поля грассмановы?

Нужно посчитать интеграл по траекториям, как и всегда, что в данном случае сделать возможно, поскольку интеграл гауссов. Ну и да, нормально это делается при помощи фурье-разложения (потому что определитель ядра в этом базисе и считается проще, и определён скорее всего лучше).

P.S. То, что вы решили читать книгу Сачдева и при этом ещё стараетесь понять и проделывать выкладки, это очень похвально. Но это книга, как по мне, весьма непростая и требует уже определённой подготовки в области КТП многих тел. Может, вам стоит сначала базу получше проработать? Тогда потом QPT будет читаться проще и приятнее. Я тут где-то оставлял небольшой список книг по конденсированным средам, которые мог бы порекомендовать для изучения, - в « Ищу литературу по… (Ф)» можно найти. Дело, впрочем, ваше.