4-х мерные кривые

[PSP]

Известны ли исследования по 4-х мерным кривым, в частности про их кривизну, кручение?Или , может быть , у них есть ещё один инвариант?
Интересно как в евклидовом, так и в псевдоевклидовом пространстве.

[zoo]

PSP писал(а):

Известны ли исследования по 4-х мерным кривым, в частности про их кривизну, кручение?Или , может быть , у них есть ещё один инвариант?
Интересно как в евклидовом, так и в псевдоевклидовом пространстве.

что такое 4-х мерная кривая?

[PSP]

zoo писал(а):

PSP писал(а):

Известны ли исследования по 4-х мерным кривым, в частности про их кривизну, кручение?Или , может быть , у них есть ещё один инвариант?
Интересно как в евклидовом, так и в псевдоевклидовом пространстве.

что такое 4-х мерная кривая?

Ну, к примеру, парабола, прямая, окружность- плоские кривые,2-х мерные.Инвариант - кривизна.В параметрическом виде:.x=f_0(l),y=f_1(l), l -параметр
Винтовая линия - пространственная кривая, 3-х мерная.Инварианты -кривизина и кручение.В параметрическом виде:.x=f_0(l),y=f_1(l),z=f_2(l), l -параметр
Тогда есть и 4-х мерные кривые.В параметрическом виде:.x=f_0(l),y=f_1(l),z=f_2(l), t=f_3(l), l -параметр.Наверняка кроме кривизны и кручения у них должен быть ещё какой-то инвариант...

[zoo]

PSP писал(а):

zoo писал(а):

PSP писал(а):

Известны ли исследования по 4-х мерным кривым, в частности про их кривизну, кручение?Или , может быть , у них есть ещё один инвариант?
Интересно как в евклидовом, так и в псевдоевклидовом пространстве.

что такое 4-х мерная кривая?

Ну, к примеру, парабола, прямая, окружность- плоские кривые,2-х мерные.Инвариант - кривизна.В параметрическом виде:.x=f_0(l),y=f_1(l), l -параметр
Винтовая линия - пространственная кривая, 3-х мерная.Инварианты -кривизина и кручение.В параметрическом виде:.x=f_0(l),y=f_1(l),z=f_2(l), l -параметр
Тогда есть и 4-х мерные кривые.В параметрическом виде:.x=f_0(l),y=f_1(l),z=f_2(l), t=f_3(l), l -параметр.Наверняка кроме кривизны и кручения у них должен быть ещё какой-то инвариант...

это называется не 4-х мерная кривая, а кривая в четырехмерном пространстве (у самой кривой размерность одна и таже -- 1) Уравнения Френе пишутся для кривых в любом n-мерном пространстве ссылку не помню ищите в гугле

[Brukvalub]

PSP писал(а):

Наверняка кроме кривизны и кручения у них должен быть ещё какой-то инвариант...

Это стандартные сведения из любого курса дифференциальной геометрии Поищите по ключевым словам
"Формулы Френе для кривой в n-мерном пространстве", "Задание кривой ее кривизнами".

[Narn]

У Постникова (М.М) в Лекциях по геометрии, Семестр III, Геометрия многообразий рассматриваются кривые $R^n$.

[PSP]

Narn писал(а):

У Постникова (М.М) в Лекциях по геометрии, Семестр III, Геометрия многообразий рассматриваются кривые $R^n$.

Нашёл у него.Спасибо всем!

Добавлено спустя 2 часа 20 минут 44 секунды:

И интересно, как будет выглядеть уравнения такой кривой в параметрическом виде , у которой все кривизины постоянны в 4-х мерном как в евклидовом, так и псевдоевклидовом пространстве ?
Можете помочь?

[antbez]

И какой же там третий инвариант?

[PSP]

antbez писал(а):

И какой же там третий инвариант?

[antbez]

Из этого следует, что лишь две кривизны знакопостоянны...

[PSP]

antbez писал(а):

Из этого следует, что лишь две кривизны знакопостоянны...

Да, в 2-х мерном пространстве одна кривизина,в 3-х мерном 2 кривизины (вторую называют ещё кручением), эта вторая кривизина(кручение) двузначна, а в 4-х мерном пространстве будут 3 кривизины , 3-тья кривизина -двузначна.
.
Здесь указаны формулы для вычисления 1-й и 2-й кривизин {272,273}для кривой в пространстве.А вот как вычисляется 3-я кривизна для кривой в 4-х мерном мире?
Так вот ,а дальше меня интересует параметрическое уравнение для кривой в 4-х мерном пространстве, когда модули всех этих кривизин постоянны

[PSP]

Обновил

[Руст]

Речь идёт о кривых в $R^n$ с Евклидовой метрикой.Если промежуточные кривизны не равны нулю, то единичные векторы в напрвлении движения $e_1$ (движение равномерное - натуральный параметр), $e_2$ - в направлении ускорения, $e_3$ - кручения и т.д. образуют ортонормированный базис, соответственно этот базис в пространстве $R^n$ вращается, т.е. $(\frac{de_1}{dl},...,\frac{de_n}{dl})=(e_1,...,e_n)B$, где B кососимметрическая матрица. Если матрица B не зависит от параметра длины l, то это уравнение легко интегрируется $(e_1,...,e_n)=(e_{10},...,e_{n,0})exp(Bl)$, $exp(Bl)$ - образует однопараметрическую группу ортогонанальных вращений. Соответственно легко интегрируется и движение $(\frac{dx_1}{dt},...,\frac{dx_n}{dt})=(e_{10},...,e_{n0})exp(Bl)$. Имеется одно свойство движения для чётномерного пространства с неравными нулю кривизнами, кручениями,ю... Там движение ограниченное, в бесконечность не уходит, но не обязательно периодическое (для этого нужны соизмеримые периоды). Только Сергей хочет применить это не в $R^4$ c Эвклидовой метрикой, а в пространстве Минковского, где вряд ли допустимо движение во времени назад (временами). Соответственно длина должна вычисляться не в Евклидовой метрике, а в Лоренцевой. Соответственно теория будет другой. Но я всё равно против такой чепухи.

[PSP]

Руст в сообщении #135846 писал(а):

Соответственно теория будет другой.

И какой будет теория?

Добавлено спустя 1 минуту 18 секунд:

Руст в сообщении #135846 писал(а):

Но я всё равно против такой чепухи.

Сначала нужно доказать , что такой подход - чепуха , а потом выступать против..

[PSP]

У кого из сотрудников и преподователей мехмата МГУ можно получить консультацию по данному вопросу лично?