2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нормально ли так издеваться над Теорией Возмущений?
Сообщение01.08.2018, 16:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
1962
Внутри ускорителя
Добрый день вновь.

Прошу прощения за вновь отвратительное вопрошание. :oops:
Представим себе, что мы считаем процессы по временной теории возмущений с периодическим возмущением $\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{W}_0 \sin(\omega t)$.
Тогда у нас есть коэффициенты переходов $c_{n \rightarrow m}^{(q)}(t) = \operatorname{const}(t) + a \cdot f(t)$, вероятность перехода $|n\rangle \rightarrow |m\rangle$, а $q$ -- порядок теории возмущений, а $f(t)$ -- осциллирующая функция.
Если мы считаем, что вероятность перехода за кусок времени -- это (откопал в одной книжке):
$w_{n \rightarrow m}^{(q)}(t) = \frac{|c_{n \rightarrow m}^{(q)}(t)|^2}{t}$,
то можно ли сделать следующую гадость:
если определить количество молекул в состоянии $|m\rangle$, полученных из $|n\rangle$ как
$n_{n \rightarrow m}^{(q)}(\tau) = \int_0^{\tau} dt w_{n \rightarrow m}^{(q)}(t)$, то при взятии интеграла и при достаточно большом $\tau$ мы сможем получить
$n_{n \rightarrow m}^{(q)}(\tau) \approx  |\operatorname{const}(t)|^2$. Типа, что у нас в насыщенном режиме система выйдет на постоянное количество молекул в состоянии $|m\rangle$.
Это вообще хоть как-то адекватно, или всё слишком запущено?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормально ли так издеваться над Теорией Возмущений?
Сообщение01.08.2018, 17:57 
Аватара пользователя


31/08/17
19/12/19
1671
Я вобщем в написанном ни фига не понял. Если бы был разъяснен математический смысл терминов, то возможно, понял бы больше. Но настораживает сочетание двух понятий "теория возмущений" и "достаточно большое t"

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормально ли так издеваться над Теорией Возмущений?
Сообщение01.08.2018, 18:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
1962
Внутри ускорителя
Да я вроде стандартными обозначениями пользовался: в Вики также, ну кроме куска про $c_{n \rightarrow m}^{(q)}(t) = \operatorname{const}(t) + a \cdot f(t)$.
Считаются переходы между стационарными состояниями системы.
pogulyat_vyshel в сообщении #1329987 писал(а):
Но настораживает сочетание двух понятий "теория возмущений" и "достаточно большое t"

Собственно, в этом и вопрос. Как-то обычно это обходится в учебниках, но там в итоге вырезается кусок спектра при резонансных частотах для каждого перехода. А тут как раз резонансом и не пахнет, поэтому и извращаемся....

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормально ли так издеваться над Теорией Возмущений?
Сообщение02.08.2018, 10:44 


07/07/12
209
madschumacher в сообщении #1329993 писал(а):
Считаются переходы между стационарными состояниями системы.
а переходы в непрерывный спектр? тогда там будут ограничения (сверху и снизу) на время $t$, причем верхнее ограничение имеет вид $t \ll 1/\delta \varepsilon$, где $\delta \varepsilon$ --- расстояния между уровнями энергии в непрерывном спектре. Правило Ферми будет работать только при соблюдении этих ограничений на время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормально ли так издеваться над Теорией Возмущений?
Сообщение02.08.2018, 11:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
1962
Внутри ускорителя
physicsworks в сообщении #1330107 писал(а):
а переходы в непрерывный спектр?

Переходы через непрерывный спектр между дискретными состояниями. Но непрерывный спектр моделируется дискретным.
Да там и само правило Ферми применяется через одно место, так что формальная корректность подобной конструкции устроит...

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормально ли так издеваться над Теорией Возмущений?
Сообщение03.08.2018, 02:09 


07/07/12
209
madschumacher, OK, IMHO навскидку в первом приближении амплитуда перехода за счет периодического возмущения должна обратиться в нуль при больших временах когда $|(\Omega \pm \omega)t| \gg 1$ и одновременно нет резонанса (т.е. $\Omega \pm \omega \not\to 0$). Здесь у меня $\Omega$ --- частота перехода между начальным и конечным уровнем и я выбрал $t=0$ в качестве момента "включения" периодического возмущения.

Это потому, что амплитуда перехода имеет вид интерференции двух членов с комплексными экспонентами степени которых и есть $(\Omega \pm \omega)t$, и когда $|(\Omega \pm \omega)t| \gg 1$ эти сильно осциллирующие экспоненты затухают и амплитуда обращается в нуль в силу эрмитовости пертурбационного возмущения. При этом т.к. в знаменателе интерферцнионных членов стоят $\Omega \pm \omega$, то резонансный случай, естественно, рассматривается отдельно. Тогда, как известно, амплитуда перехода при длительном воздействии возмущения есть сумма двух дельта-функций от $\Omega \pm \omega$.

Это в первом порядке. Сейчас сходу не соображу что будет на более высоких порядках, надо честно за листок бумаги садиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормально ли так издеваться над Теорией Возмущений?
Сообщение03.08.2018, 11:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
1962
Внутри ускорителя
physicsworks в сообщении #1330301 писал(а):
в первом приближении амплитуда перехода за счет периодического возмущения должна обратиться в нуль при больших временах

Да нет, так и есть.
Но дело в том, что подобные предположения применяют не для изолированных систем, а для незамкнутых, с диссипацией энергии (за счёт как раз-таки взаимодействия с возмущением). Поэтому во фреймворке временной теории возмущений, где совершенно не описывается изменение самого внешнего возмущения (оно просто есть как фон), приходится обычно прибегать к разным трюкам.

Я честно пытался подобраться со стороны уравнения Шрёдингера-Ланжевена-Костина,

(это то, что с модифицированным гамильтонианом)

$\hat{H} = \hat{H}_0 + \frac{i\hbar \gamma}{2 } \left( \ln(\psi / \psi^*) - \langle \psi / \psi^* \rangle \right) = \hat{H}_0 - \gamma \left( S -  \langle S \rangle \right)$

но ничего конкретного не придумал. Поэтому только и попытался избавиться от этого в стиле обычного уравнения для кинетики 1-го порядка (тоже применяется, вроде, для описания диссипативных квантовых систем, вон с радиоактивным распадом работает) как процесс
$|n\rangle \rightarrow |m\rangle $ с вероятностью перехода $p(t) = |c_{n \rightarrow m}(t)|^2/t$.
Тогда уравнение на количество молекул в состоянии $|m\rangle$ ($N_m (t), \ N_m(0)=0$) будет:
$\dot{N}_m = p(t) N_n$,
где $N_n = \operatorname{const} (t)$ (предполагаем, что в изначальном состоянии молекул дофига и больше).
Ну и соответственно, из этого и приходим к изначальной формуле издевательства из стартового сообщения. :oops:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group