Нормально ли так издеваться над Теорией Возмущений?

[madschumacher]

Добрый день вновь.

Прошу прощения за вновь отвратительное вопрошание.
Представим себе, что мы считаем процессы по временной теории возмущений с периодическим возмущением $\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{W}_0 \sin(\omega t)$.
Тогда у нас есть коэффициенты переходов $c_{n \rightarrow m}^{(q)}(t) = \operatorname{const}(t) + a \cdot f(t)$, вероятность перехода $|n\rangle \rightarrow |m\rangle$, а $q$ -- порядок теории возмущений, а $f(t)$ -- осциллирующая функция.
Если мы считаем, что вероятность перехода за кусок времени -- это (откопал в одной книжке):
$w_{n \rightarrow m}^{(q)}(t) = \frac{|c_{n \rightarrow m}^{(q)}(t)|^2}{t}$,
то можно ли сделать следующую гадость:
если определить количество молекул в состоянии $|m\rangle$, полученных из $|n\rangle$ как
$n_{n \rightarrow m}^{(q)}(\tau) = \int_0^{\tau} dt w_{n \rightarrow m}^{(q)}(t)$, то при взятии интеграла и при достаточно большом $\tau$ мы сможем получить
$n_{n \rightarrow m}^{(q)}(\tau) \approx |\operatorname{const}(t)|^2$. Типа, что у нас в насыщенном режиме система выйдет на постоянное количество молекул в состоянии $|m\rangle$.
Это вообще хоть как-то адекватно, или всё слишком запущено?

[pogulyat_vyshel]

Я вобщем в написанном ни фига не понял. Если бы был разъяснен математический смысл терминов, то возможно, понял бы больше. Но настораживает сочетание двух понятий "теория возмущений" и "достаточно большое t"

[madschumacher]

Да я вроде стандартными обозначениями пользовался: в Вики также, ну кроме куска про $c_{n \rightarrow m}^{(q)}(t) = \operatorname{const}(t) + a \cdot f(t)$.
Считаются переходы между стационарными состояниями системы.

pogulyat_vyshel в сообщении #1329987 писал(а):

Но настораживает сочетание двух понятий "теория возмущений" и "достаточно большое t"

Собственно, в этом и вопрос. Как-то обычно это обходится в учебниках, но там в итоге вырезается кусок спектра при резонансных частотах для каждого перехода. А тут как раз резонансом и не пахнет, поэтому и извращаемся....

[physicsworks]

madschumacher в сообщении #1329993 писал(а):

Считаются переходы между стационарными состояниями системы.

а переходы в непрерывный спектр? тогда там будут ограничения (сверху и снизу) на время $t$, причем верхнее ограничение имеет вид $t \ll 1/\delta \varepsilon$, где $\delta \varepsilon$ --- расстояния между уровнями энергии в непрерывном спектре. Правило Ферми будет работать только при соблюдении этих ограничений на время.

[madschumacher]

physicsworks в сообщении #1330107 писал(а):

а переходы в непрерывный спектр?

Переходы через непрерывный спектр между дискретными состояниями. Но непрерывный спектр моделируется дискретным.
Да там и само правило Ферми применяется через одно место, так что формальная корректность подобной конструкции устроит...

[physicsworks]

madschumacher, OK, IMHO навскидку в первом приближении амплитуда перехода за счет периодического возмущения должна обратиться в нуль при больших временах когда $|(\Omega \pm \omega)t| \gg 1$ и одновременно нет резонанса (т.е. $\Omega \pm \omega \not\to 0$). Здесь у меня $\Omega$ --- частота перехода между начальным и конечным уровнем и я выбрал $t=0$ в качестве момента "включения" периодического возмущения.

Это потому, что амплитуда перехода имеет вид интерференции двух членов с комплексными экспонентами степени которых и есть $(\Omega \pm \omega)t$, и когда $|(\Omega \pm \omega)t| \gg 1$ эти сильно осциллирующие экспоненты затухают и амплитуда обращается в нуль в силу эрмитовости пертурбационного возмущения. При этом т.к. в знаменателе интерферцнионных членов стоят $\Omega \pm \omega$, то резонансный случай, естественно, рассматривается отдельно. Тогда, как известно, амплитуда перехода при длительном воздействии возмущения есть сумма двух дельта-функций от $\Omega \pm \omega$.

Это в первом порядке. Сейчас сходу не соображу что будет на более высоких порядках, надо честно за листок бумаги садиться.

[madschumacher]

physicsworks в сообщении #1330301 писал(а):

в первом приближении амплитуда перехода за счет периодического возмущения должна обратиться в нуль при больших временах

Да нет, так и есть.
Но дело в том, что подобные предположения применяют не для изолированных систем, а для незамкнутых, с диссипацией энергии (за счёт как раз-таки взаимодействия с возмущением). Поэтому во фреймворке временной теории возмущений, где совершенно не описывается изменение самого внешнего возмущения (оно просто есть как фон), приходится обычно прибегать к разным трюкам.

Я честно пытался подобраться со стороны уравнения Шрёдингера-Ланжевена-Костина,

(это то, что с модифицированным гамильтонианом)

$\hat{H} = \hat{H}_0 + \frac{i\hbar \gamma}{2 } \left( \ln(\psi / \psi^*) - \langle \psi / \psi^* \rangle \right) = \hat{H}_0 - \gamma \left( S - \langle S \rangle \right)$

но ничего конкретного не придумал. Поэтому только и попытался избавиться от этого в стиле обычного уравнения для кинетики 1-го порядка (тоже применяется, вроде, для описания диссипативных квантовых систем, вон с радиоактивным распадом работает) как процесс
$|n\rangle \rightarrow |m\rangle $ с вероятностью перехода $p(t) = |c_{n \rightarrow m}(t)|^2/t$.
Тогда уравнение на количество молекул в состоянии $|m\rangle$ ($N_m (t), \ N_m(0)=0$) будет:
$\dot{N}_m = p(t) N_n$,
где $N_n = \operatorname{const} (t)$ (предполагаем, что в изначальном состоянии молекул дофига и больше).
Ну и соответственно, из этого и приходим к изначальной формуле издевательства из стартового сообщения.