Количество вложений

[npetric]

Конечно ли множество вложений $\mathbb{R}$ в $\mathbb{C}$?

Если следующее утверждение правильно, то ответ отрицательный:

npetric в сообщении #1329302 писал(а):

Нашёл обсуждение, где утверждали (второй ответ), что любой автоморфизм любого подполя $F \subset \mathbb{C}$ может быть продолжен до автоморфизма $\mathbb{C}$.

Действительно, у $\overline{\mathbb{Q}}$ бесконечное число автоморфизмов (хотя бы потому что существуют неприводимые многочлены над $\mathbb{Q}$ сколь угодно большой степени). Достаточно продолжить их до автоморфизмов $\mu_\alpha: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ и рассмотреть вложения $in_\alpha = \mu_\alpha \circ in$, где $in: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ -- стандартное вложение.

Не удовлетворён этим решением, потому что не могу доказать достоверность используемого утверждения о продолжении (см. отдельную тему).

Можно ли доказать это как-то проще?

Думал также о диких автоморфизмах $\mathbb{C}$, но про них пока что знаю очень мало.

[vpb]

npetric
Знаете ли Вы, что такое трансцендентные расширения полей, базис трансцендентности, степень трансцендентности ? Если нет, почитайте Ленга, там про это глава есть, из нее пока достаточно первого параграфа. В качестве упражения можете попробовать доказать, что степень трансцендентности ${\mathbb C}$ над ${\mathbb Q}$ --- континуум. (Хотя нет, для этого надо знать еще кое-что про мощности... . Ну докажите хотя бы, что эта степень несчетна). Или пожалуй еще
проще: докажите, что если некоторое расширение полей имеет конечный базис трансцендентности, то любой другой базис трансцендентности ему равномощен.

Для вопросов, которые Вы задавали в этой и предыдущей темах, не надо никакой особой литературы, кроме ван дер Вардена (если в нем разберетесь, т.к. его стиль несколько устарел) и Ленга, и умения применять лемму Цорна. В пределах этих двух книжек (да и одного Ленга достаточно) всё можно решить собственным соображением. Дальше указаний пока не даю, т.к. неизвестно, насколько Вы с базисом трансцендентности знакомы.

[npetric]

Понял, спасибо.

[npetric]

Начал пока что думать над предложенными Вами утверждениями.

(1) Множество конечных подмножеств счётного множества имеет счётную мощность.

Базис трансцендентности $\mathbb{C}$ над $\mathbb{Q}$ несчётен.
Доказательство:
Если $S$ -- базис трансцендентности $L$ над $F$, то $L$ алгебраично над $F(S)$, поэтому если докажем, что $F(S)$ счётно, то и $L$ счётно.
Пусть $F \subset L$ -- счётное поле, $S \subset L$ -- счётное множество, тогда $F(S)$ --счётное множество. Это верно, потому что существует сюрьекция из декартова квадрата $P \times P$ множества $P$ многочленов над счётным числом переменных в $F(S)$, задаваемая гомоморфизмом вычисления. Каждый моном можно рассматривать как конечный набор $\{(\text{переменная}, \text{степень})\} \subset S \times \mathbb{N}$, поэтому количество мономов счётно, многочлен -- конечное подмножество мономов (всё по (1)).

Доказательство континуальности $S$ потребует использования континуум-гипотезы?

З.Ы.

Цитата:

Или пожалуй еще проще: докажите, что если некоторое расширение полей имеет конечный базис трансцендентности, то любой другой базис трансцендентности ему равномощен.

Видел доказательство в Ленге -- не сказал бы, что проще.

[vpb]

npetric в сообщении #1329413 писал(а):

Видел доказательство в Ленге -- не сказал бы, что проще

Это, так сказать, особенности личного восприятия. Я не стал смотреть сейчас в деталях, что там в Ленге написано, а сам читал давно.
Несчетность степени трансцендентости правильно доказали (правда, не идеально записали, но это тоже второстепенно).

Нет, континуум-гипотеза не нужна. Есть факт про мощности: если ${\mathfrak a}, {\mathfrak b}$ --- две мощности, и хотя бы одна из них бесконечна, то ${\mathfrak a}{\mathfrak b}={\rm max}({\mathfrak a}, {\mathfrak b})$.

[npetric]

Я пока что, с Вашего позволения, отложу вопрос о мощности трансцендентного базиса.

Думал про продолжения автоморфизмов, ни к чему не пришёл. Есть идея, что это должно следовать из алгебраической замкнутости $\mathbb{C}$, потому что у $\mathbb{R}$ единственный автоморфизм, и этот факт обусловлен разрешимостью уравнения $a=x^2$, позволяющей выделить положительные и отрицательные числа. Дайте, пожалуйста, подсказку.

[vpb]

Если не можете про мощность доказать, не так уж это важно. Вот указания.

1) Пусть $F\subseteq E$ --- алгебраическое расширение, $K$ --- алгебраически замкнутое поле. Тогда всякое вложение $F$ в $K$ может быть продолжено на $E$ (применить лемму Цорна).

2) Пусть $F\subset T$ --- чисто трансцендентное расширение бесконечной степени трансцендентности. Тогда $T$ имеет бесконечно много автоморфизмов над $F$.

Отсюда легко выводится то, что надо.

(указание)

Рассмотреть башню

$${\mathbb Q}\subset{\mathbb Q}(S)\subset{\mathbb R},$$

где $S$ --- базис трансцендентности ${\mathbb R}$ над ${\mathbb Q}$.

Теперь к вопросу, что автоморфизм любого подполя в ${\mathbb C}$ продолжается на всё ${\mathbb C}$.

3) Если $F\subset T$ --- чисто трансцендентное расширение, то любой автоморфизм $F$ продолжается на $T$.

4) (очевидное) Если поле алгебраически замкнуто, то любое его алгебраическое расширение совпадает с ним самим.

5) Пусть $F\subset E$ алгебраическое, притом $E$ алгебраически замкнуто. Тогда любой автоморфизм $F$ продолжается на $E$ (использовать 1) и 4) ).

6) То же, что 5), без предположения, что расширение алгебраическое (рассмотреть подходящую башню).

[npetric]

Получилось так, что я почти каждый факт в отдельности знал, но друг с другом связать не смог. Спасибо, завтра напишу все доказательства!

[vpb]

Лучше перед экзаменом во ВШЭ отдохните. У меня, помню, почти никогда так не было, чтоб в последний перед экзаменом день тоже учиться.