Диск с ленточками на плоскости

[gogoshik]

Пусть имеется слово длины $2n$ из $n$ букв, в котором каждая буква встречается дважды. Возьмем двумерный диск (например, выпуклый многоугольник на плоскости). Ориентируем его краевую (граничную) окружность. Отметим на ней непересекающиеся отрезки, отвечающие буквам данного слова, в том порядке, в котором буквы идут в слове. Для каждой буквы соединим (необязательно в плоскости) соответствующие ей два отрезка ленточкой-прямоугольником (так, чтобы разные ленточки не пересекались). При этом стрелки на окружности должны быть противонаправлены при переносе вдоль ленточки).

Диском с $n$ неперекрученными ленточками, отвечающим данному слову, называется объединение построенных диска и ленточек.

Ленточки $a$ и $b$ на диске с ленточками называются перекрещивающимися, если отрезки, по которым они приклеиваются к диску, чередуются -- идут в циклическом порядке $(abab)$, а не $(aabb)$.

Утверждение. Диск с неперекрученными ленточками можно вырезать из плоскости тогда и только тогда, когда у него нет перекрещивающихся ленточек.

Если нарисовать, геометрически (на рисунке) вроде все очевидно. Но не понимаю, как доказать это. Подскажите, плиз.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- пожалуйста, сделайте формулировку более понятной.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Soul Friend]

gogoshik в сообщении #1328316 писал(а):

Если нарисовать, геометрически (на рисунке) вроде все очевидно.

Покажите, пожалуйста, рисунок для какой либо $n$.

[gogoshik]

Появились некоторые идеи, более рукомахательные.

А как вообще доказать, что диск (простой или с какой либо дополнительной структурой) можно вырезать из плоскости? Ну, например, сказать, что объект можно вырезать из плоскости, если он обладает плоским рисунком (или диаграммой), то есть без пересечений нарисованных на плоскости кривых (линий). Если можно такое сказать, очевидно, что если мы будем двигаться по линии разреза (границе диска), то не должно быть её самопересечений. Пусть у нас на плоскости изображено кольцо (диск с дыркой). Кольцо -- это диск с одной склеенной неперекрученной ленточкой. Тогда по внешней границе кольца делаем первый разрез, и по внутренней границе кольца (=граница дырки) второй разрез. Получаем кольцо $K \sim S^1$. Линии разрезов не пересекались.

На рисунках изображены ленточка и перекрученная ленточка, кольцо на плоскости, диск с двумя неперекрученными неперекрещивающимися ленточками $ab$(внизу справа) и диск с двумя перекрещивающимися ленточками $ab$ (левее ниже).

Получается, для диска с $n$ неперекрученными неперекрещивающимися ленточками, необходимо выполнить $(n+1) $ разрезов, чтобы извлечь его из плоскости.

Видно, что если диск с неперекрученными ленточками вырезается, тогда у него нет точек самопересечений границы, нет общих точек у ленточек и ленточки не перекрещиваются.

Также видно, что в случае перекрещивающихся ленточек, нам недостаточно одной плоскости, чтобы полностью вырезать диск с ленточками. И еще в таком случае, если ориентировать границу и двигаться вдоль границы, то у нас получается одна замкнутая кривая (правда с узлами). И еще, чем то это все напоминает поверхность Зейферта. Думаю, что нет смысла искать тут какие-нибудь инварианты (ну, к примеру, полином Александера-Конвея).

Но я так и не пойму, как правильно нужно делать строгое доказательство.

[Soul Friend]

Двумерный диск, саму плоскость, а так же кольцевидные ленточки можно рассмотреть как отдельные множества, а их пересечения (подмножества которые они создают) вырезаются.
У вас двумерный диск задан в плоскости, а ленточки в двумерном диске (ленточки внутри диска, не обязательно их рисовать выпячивающими из диска).
Если ленточка замкнута (кольцевидная ленточка), то она образует множество с одним подмножеством которая вырезается(не является элементом диска).
По поводу доказательства, не бывает соприкасающихся множеств. Два множества могут быть вложены одна в другую(вложенная вырезается), или иметь какие-то общие элементы (которые то же вырезаются), или быть разными множествами (в таком случае их нельзя вырезать как одно целое).

[Soul Friend]

Как только лента образует кольцо на плоскости - добавляется новое подмножество.

[Munin]

Теорема Жордана, как я понимаю?

[gogoshik]

Требуется показать, что число краевых окружностей диска с $n$ неперекрученными ленточками не превосходит $n+1$. Под краевой окружностью следует понимать связный кусок множества точек диска, к которым он "подходит с одной стороны".

Будет ли доказательство по индукции верным? Диск без ленточки имеет одну краевую окружность. Добавление к пустому (без ленточек) диску одной неперекрученной ленточки добавляет еще одну краевую окружность (внутреннюю). Если добавить еще одну ленточку, то в случае если новая ленточка перекрещивается с ранее добавленной ленточкой, то число краевых окружностей не изменится. Если новая ленточка не перекрещивается с ранее добавленной ленточкой, то число краевых окружностей увеличится на единицу. И т.д.

[Lia]

gogoshik

Темы объединены.

[gogoshik]

gogoshik в сообщении #1329669 писал(а):

Требуется показать, что число краевых окружностей диска с $n$ неперекрученными ленточками не превосходит $n+1$. Под краевой окружностью следует понимать связный кусок множества точек диска, к которым он "подходит с одной стороны".

Так как задача до сих пор не решена, то хотел бы узнать, а как вообще нужно решать подобные задачи? Нужно строгое доказательство или достаточно предъявить интуитивное?

[gogoshik]

Уточню. Нужно ли строго доказывать, что добавление к пустому (без ленточек) диску одной неперекрученной ленточки увеличивает число краевых окружностей на единицу?

[gogoshik]

Прошу, плиз, подсказать. Что то не могу понять указание к задаче.

В задаче требуется, доказать, что диск с неперекрученными ленточками (см. выше) можно вырезать из плоскости тогда и только тогда, когда нет перекрещивающихся ленточек. Указание: часть <<только тогда>> следует из леммы о пересечении.

Лемма (о пересечении). Любые две ломанные, соединяющие противоположные вершины квадрата, пересекаются.

Причем тут лемма, не очень понимаю. Предположим, напротив, что если у диска нет перекрещивающихся ленточек (т.е. внутренности любых двух ломанных не имеют общих точек или не пересекаются), то диск нельзя вырезать из плоскости. Будем считать, что диск нельзя вырезать из плоскости, если линии разреза пересекаются. Тогда получаем очевидное противоречие.

[gogoshik]

Извините за любопытство. Что, действительно, ни у кого нет никаких мыслей по этому вопросу? На форуме то есть геометры?

[Munin]

Я подозреваю, геометры не понимают, в чём ваши затруднения.