Об гидростатическом давлении. Давление на стенку сосуда

[misha.physics]

Здравствуйте.
Интересует вопрос, как так получается, что давление на стенки сосуда можно вычислить по той же формуле гидростатического давления:

$$p=\rho gh$$

Пусть у нас есть сосуд с жидкостью. Поместим в этой толще жидкости на глубине $h$ горизонтально ориентированную монетку. Тогда давление на эту монетку со стороны жидкости (под действием силы земной тяжести) будет:

$$p=\frac{F}{S}$$

$F$ - это вес жидкости, заключенной в цилиндре высоты $h$ и основанием которого служит основание монетки: $F=\rho Shg$
$S$ - площадь основания монетки.
В результате получим первую формулу.
Это давление на монетку толщей воды над ней, перпендикулярно поверхности основания монетки.

А как приходят к заключениям о давлении на эту монетку со стороны жидкости на её нижнее основание, то есть о силе давления направленной вверх. Давление будет определятся той же формулой. То есть, жидкость давит на монетку сверху и снизу с той же самой силой давления.

Можно ли здесь рассуждать, применяя 3-й закон Ньютона, что жидкость над монеткой давит на нее с силой $F$, так что монетка давит на жидкость снизу с той же силой, значит эта жидкость давит на монетку вверх с той же силой. Делим силу на площадь основания монетки и получаем давление. Правильные ли такие соображения?

А как быть с давлением на стенки сосуда? Почему можно пользоваться той же формулой. Давайте вместо стенок сосуда разместим нашу монетку на той же глубине $h$, но ориентируем её вертикально (в вертикальной плоскости). Понятно, что давление "слева" и "справа" будет одинаковым. Но как доказать, что в среднем оно тоже будет $\rho gh$, где $h$ - скажем, глубина центра монетки?

Получается, что сила давления для одной и той же глубины во все стороны имеет одинаковое численное значение. То есть, если нам дана точка жидкости, то давление в этой точке можно считать величиной типа температуры или плотности (в смысле зависимости давления только от точки жидкости). Нас не интересуют направления. Впрочем, давление это невекторная величина. Можно ли это понять без уяснения механизма взаимодействия частиц жидкости? Мне сразу думается о какой-то моделе стеклянных шариков и т. д., описывающей поведение жидкостей при передаче давления от одной "части" жидкости к другой.

И можно ли просто объяснить, что сила давления жидкости (для данной глубины) во все стороны имеет одинаковое численное значение?

P. S. Я, наверное, немного по дилетантски все написал, как-то раньше меня гидродинамика сильно не касалась, но теперь стало интересно :)

[pogulyat_vyshel]

по-хорошему надо разобраться что такое тензор напряжений и как он выглядит для покоящейся жидкости при стандартных предположениях

[Pphantom]

Вы пытаетесь вспомнить закон Паскаля или пытаетесь его объяснить?

[realeugene]

misha.physics в сообщении #1329214 писал(а):

Правильные ли такие соображения?

Нет, неправильные. Монетка без поддержки тонет, так что, третий закон Ньютона тут неприменим. Нужно брать находящийся в равновесии небольшой объём жидкости, чтобы показать, что силы, действующие в жидкости в разные стороны от площадки, противоположны по направлению и равны по модулю.

А то, что силы гидростатического давления в жидкостях не зависят от направления площадки - это, просто, экспериментальный факт. В твёрдых телах это не так.

[misha.physics]

Простите, писал это до того, как увидел ваши ответы.

Мне бы стоило добавить свои идеи (попытки понять это явление). Для начала: почему вообще жидкость оказывает давление (или с какой-то силой "давит" на стенки сосуда), ведь казалось бы, на частицы жидкости действует только сила тяжести, направленная к дну сосуда. Я могу понять, что жидкость не сохраняет свою форму, и под действием силы тяжести она заполняет весь сосуд (ниже свободной поверхности жидкости) так, что она просто обязанна давить ещё и на стенки. В моделе из маленьких стеклянных шариков это можно увидеть. Но как прийти к какому-то количественному описанию этого давления не очень получается.

И ещё одно, давление жидкости, кроме тяжести обусловленно также и ударами молекул жидкости о стенки (и дно) сосуда, да? Так же, как и у газа? Но так, как молекулы жидкости движутся менее интенсивно, чем молекулы газа, то давление жидкости, обусловленное ударами молекул будет меньше чем давление газа, обусловленное этой же причиной, да? (О причине давления связанной с тяготением сейчас речь не идет.)

[realeugene]

misha.physics в сообщении #1329221 писал(а):

Но так, как молекулы жидкости движутся менее интенсивно

Почему это?

-- 28.07.2018, 01:05 --

misha.physics в сообщении #1329221 писал(а):

В моделе из маленьких стеклянных шариков это можно увидеть.

Это очень плохая модель жидкости, так как насыпанные стеклянные шарики образуют горку, а у жидкости поверхность в статике всегда горизонтальная, с точностью до поверхностного натяжения.

[Mihr]

misha.physics в сообщении #1329214 писал(а):

жидкость давит на монетку сверху и снизу с той же самой силой давления.

Если это верно, то закон Архимеда несправедлив. Кто, вероятнее, неправ: Вы или Архимед?

[misha.physics]

pogulyat_vyshel,

pogulyat_vyshel в сообщении #1329217 писал(а):

по-хорошему надо разобраться что такое тензор напряжений и как он выглядит для покоящейся жидкости при стандартных предположениях

Понял, согласен. Просто я сначала подумал, что возможен какой-то более простой (или даже школьный способ объяснения).

Pphantom,

Pphantom в сообщении #1329218 писал(а):

Вы пытаетесь вспомнить закон Паскаля или пытаетесь его объяснить?

Похоже, именно это я пытаюсь сделать. Понять механизм, почему закон Паскаля работает

realeugene,

realeugene в сообщении #1329220 писал(а):

Монетка без поддержки тонет, так что, третий закон Ньютона тут неприменим.

Да, точно, забыл. Нужно было мне ещё написать: ...подвесим монетку...и будем интересоватся давлением на эту монетку со стороны жидкости сверху и снизу, слева и справа

realeugene в сообщении #1329220 писал(а):

А то, что силы гидростатического давления в жидкостях не зависят от направления площадки - это, просто, экспериментальный факт.

Спасибо, это очень важно.

-- 28 июл 2018, 00:28 --

realeugene,

realeugene в сообщении #1329222 писал(а):

Почему это?

Ну, я имел ввиду, что тепловое движение газов интенсивнее чем у жидкостей.

realeugene в сообщении #1329222 писал(а):

Это очень плохая модель жидкости, так как насыпанные стеклянные шарики образуют горку, а у жидкости поверхность в статике всегда горизонтальная, с точностью до поверхностного натяжения.

Понял.

Mihr,

Mihr в сообщении #1329224 писал(а):

Если это верно, то закон Архимеда несправедлив. Кто, вероятнее, неправ: Вы или Архимед?

Вероятно, я не прав, конечно. Я поторопился, не разобравшись с тем, какие силы действуют на монетку снизу вверх.

[realeugene]

misha.physics в сообщении #1329225 писал(а):

Ну, я имел ввиду, что тепловое движение газов интенсивнее чем у жидкостей.

Это неверно.

[misha.physics]

На самом деле, меня больше интересовал качественный механизм, и нет ли каких-то более простых соображений без привлечений сюда тензора напряжения, ориентированных площадок и т. д. К тому же, как видно, я пока слишком мало разбираюсь в теме чтобы изучать это явление как-то количественно. Просто интересно, если мы теперь подвесим монетку, или давайте лучше маленький шарик, то можно ли в элементарной физике (скажем, школьной) говорить об давлении на этот шарик в разных направлениях со стороны жидкости? Я сначал подумал, что оно будет одинаковым, но забыл о силе Архимеда. Теперь уже я не уверен, что и давление на шарик по бокам будет тем же, что и на него сверху. А с тем вновь возникает вопрос о давлении на стенки сосуда. Будет ли оно $\rho gh$

А вопрос об давлении на стенки сосуда у меня возник в связи с сообщающимися сосудами. Там проводится мысленный эксперемент, когда в той маленькой трубке, которая соединяет два сосуда размещается маленький картонный круг и говорят, что в положении равновесия давление слева и справа должны уравновешиватся. Но жидкость непосредственно там давит на круг слева и справа, но все-равно пишут $\rho gh$. Вот и стало интересно, почему так. Но не хотелось заходить глубоко в само явление.

-- 28 июл 2018, 01:23 --

А мы можем упростить себе задачу. Вместо монетки (или какого-то дела в жидкости) рассмотрим саму "частицу" жидкости (чтобы она со всех сторон была окружена другими такими частицами жидкости), т. е. какой-то элементарный объем этой жидкости. Если все такие частицы жидкости у нас неподвижны (находятся в равновесии), то можно сказать, что на выбранную нами частицу со всех сторон действуют одинаковые силы давления. Слева и справа это понятно. А сила тяжести уравновешивается силой Архимеда. Но это только для частиц жидкости, которые не находятся на границе этой среды.

[wrest]

misha.physics в сообщении #1329229 писал(а):

Теперь уже я не уверен, что и давление на шарик по бокам будет тем же, что и на него сверх

С точностью до перепада высот - будет.

Ну скажем в невесомости цилиндр, внешняя сила давит поршень, шарик внутри. Давление на шарик будет одинаковым на всем шарике.

[miflin]

(Оффтоп)

От 16.03.2018:

misha.physics в сообщении #1297877 писал(а):

Ищу решение для электромагн. поля в рамках ОТО. Получил такую систему диф. уравнений:

$$\left\{\begin{array}{rcl} &\frac{d}{dr}\left\lbrace r[-F^2_{10}+C(r)F^2_{12}]^{s-1}F_{10}\right\rbrace=0& \\ &\frac{d}{dr}\left\lbrace r[-F^2_{10}+C(r)F^2_{12}]^{s-1}C(r)F_{12}\right\rbrace=0& \\ \end{array} \right.$$

От 27.07.2018:

misha.physics в сообщении #1329214 писал(а):

Интересует вопрос, как так получается, что давление на стенки сосуда можно вычислить по той же формуле гидростатического давления:

$$p=\rho gh$$

А контрамот-Янус действительно не мог бы знать, что происходило в нашем "вчера". Потому что наше "вчера" было бы для него "завтра".(c) АБС, "Понедельник начинается в субботу".

[misha.physics]

wrest,

wrest в сообщении #1329240 писал(а):

С точностью до перепада высот - будет.

Ну скажем в невесомости цилиндр, внешняя сила давит поршень, шарик внутри. Давление на шарик будет одинаковым на всем шарике.

Понял, закон Паскаля, спасибо.

miflin,

(Оффтоп)

Кстати, ту систему диф. уравнений я давно решил.

[miflin]

(Оффтоп)

misha.physics в сообщении #1329289 писал(а):

Кстати, ту систему диф. уравнений я давно решил.

Если Вы будете изучать математику в таком же направлении, как и физику (от ОТО к законам Паскаля и Архимеда),
то впереди Вас ждёт квадратное уравнение. А там и линейное не за горами.

[iliaborisov]

Меня дочка в очередной раз поставила по физике в тупик вопросом о механизме закона паскаля\гидростатического парадокса (изучают сейчас в 7 кл).

Действительно, если брать высокую трубу, соединенную с бочкой (классич представление парадокса паскаля) - казалось бы силу веса столба жидкости надо делить на всю поверхность бочки,чтобы получить давление -ан нет.

А каков молекулярный механизм того,что давление во все стороны в точке статической жидкости\газа одинаковы? То,что давление сверху передается и "вбок" из-за того,что молекулы это как бы шарики и появляется боковая составляющая?

Вот если взять ту же бочку и трубу, но наполнить затвердевшим бетоном, то давление в бок не будет, это понятно. А если скажем заполнить песком\порошком каким нибудь? будет частично выполняться закон паскаля?

То есть механизм по идее связан с тем,что молекулы жидкости слабо приятгиваются друг с другом и таким образом давление распределяется вокруг равномерно? Или как это можно объяснить? ДА еще и количественно доказать

Мне для ребенка объяснить, так что просьба без тензоров )).