Об гидростатическом давлении. Давление на стенку сосуда

[amon]

iliaborisov в сообщении #1384091 писал(а):

Мне для ребенка объяснить, так что просьба без тензоров )).

Без тензоров запросто, вот без градиентов сложно. Рассмотрим тонкий горизонтальный слой жидкости в бочке, верхняя поверхность которого совпадает с нижним срезом длинной трубы, вставленной в нее (классический опыт Паскаля). Сила, действующая на маленький "кусочек жидкости", равна разности давлений внутри и вне кусочка. Поскольку жидкость неподвижна, то все такие разности должны быть равны нулю. Поэтому в горизонтальном направлении давление постоянно. В вертикальном направлении на дно трубы давит сила $F=\rho g h S,$ где $S$ - площадь сечения трубы, $h$ - высота столба, а $\rho$ - плотность жидкости. Значит давление - $\rho g h,$ и, поскольку оно не меняется в горизонтальном направлении, оно "добежит" до стенки и надавит на нее ровно с силой $\rho g h$ на квадратный метр. Чуда тут нет, поскольку никакого "закона сохранения силы" в природе не существует. Если стенки сосуда чуть сдвинуться, то уровень жидкости в трубке сильно изменится. В этом смысле ситуация аналогична рычагу - малая сила на одном конце создает большую на другом, но при этом перемещения обратно пропорциональны силам, так что $F_1l_1=F_2l_2$.

[SNet]

misha.physics в сообщении #1329214 писал(а):

А как быть с давлением на стенки сосуда? Почему можно пользоваться той же формулой

Запишем уравнение Эйлера для идеальной жидкости:
$\rho\frac{d\vec v}{dt} = \rho\vec g - \nabla p$
В гидростатике получаем:
$\rho\vec g = \nabla p$
Откуда явно видно, что вдоль горизонтального направления давление постоянно, а значит и на стенки действует то самое $\rho gh$

[realeugene]

iliaborisov в сообщении #1384091 писал(а):

А каков молекулярный механизм того,что давление во все стороны в точке статической жидкости\газа одинаковы?

Тут интереснее не почему жидкость течёт, а почему твёрдые тела не текут. Для ребёнка - это всё потому, что все атомы постоянно сильно дрожат и молекулы в перескакивают с места на место, меняясь местами. В жидкостях они перескакивают с места на место очень часто, а в твёрдых телах - очень редко.

[Munin]

iliaborisov в сообщении #1384091 писал(а):

А каков молекулярный механизм того,что давление во все стороны в точке статической жидкости\газа одинаковы? То,что давление сверху передается и "вбок" из-за того,что молекулы это как бы шарики и появляется боковая составляющая?

Сравнение молекул с шариками - хорошая идея. Тут важно, что они - не "прямоугольные кирпичики". И не расположены точно друг над другом. Можно предложить составить шарики в неровную цепочку, и попробовать сжать её повдоль - будет видно, что шарики "вытеснятся" в стороны.

Но на самом деле, ситуация сложнее. Молекулы (особенно в газе) ещё и не прислонены постоянно друг к другу. На самом деле, они колеблются, летая внутри зазора (в газе - внутри большой пустоты), и ударяясь о соседние молекулы. И вот такие удары практически никогда не бывают "лоб в лоб", а всегда боковые - и после удара молекулы отскакивают тоже вбок. Так что, молекулу, которая летит по вертикали, очень быстро отбрасывает лететь по горизонтали. И тогда она будет своими ударами давить на боковую стенку.

В такой ситуации может быть даже непонятней, почему твёрдые тела не передают давление "вбок" (точнее, передают, но сильно ослабленно). Тут дело в том, что кристаллическая решётка так же стремится сохранить форму, как химическая молекула, и сопротивляется любым искажениям.

[Red_Herring]

Стоит помнить, что у многих твердых материалов есть предел упругости, и начинается пластичность, кода эти материалы "текут". Вся обработка металлов давлением (прокатка, волочение, штамповка, ковка) на этом основана

[misha.physics]

Позволю себе ещё несколько вопросов, которые меня заинтересовали. Спасибо iliaborisov за "подъём" темы.
amon,

amon в сообщении #1384158 писал(а):

оно "добежит" до стенки и надавит на нее ровно с силой $\rho g h$

Вот это по-моему здесь самое интересное, по какому механизму оно "добежит" и почему именно "ровно".

Я правильно понял, что $h$ у вас может изменятся от $0$ (свободная граница жидкости в трубке) до $H$ (нижнее основание бочки)?

SNet,

SNet в сообщении #1384161 писал(а):

В гидростатике получаем:
$\rho\vec g = \nabla p$
Откуда явно видно, что вдоль горизонтального направления давление постоянно, а значит и на стенки действует то самое $\rho gh$

Первый вывод мне понятен, но то, что давление на стенку будет равно именно $\rho gh$, по-моему требует каких-то других соображений кроме приведеной выше формулы? Из нее ведь не следует, что давление на стенки будет именно таким же, правда?

Munin,
А когда вы говорите о ударах молекул между собой и соответственно об стенки сосуда, то значит ли это, что мы рассматриваем нестатический случай? Т.е. что кроме гидростатического давления, связанного с силой тяжестью, у нас будет ещё давление, связанное с ударами?

[Red_Herring]

misha.physics в сообщении #1384195 писал(а):

то значит ли это, что мы рассматриваем нестатический случай?

Нет, именно статический. Ибо даже у покоящейся жидкости молекулы движутся

[wrest]

misha.physics в сообщении #1384195 писал(а):

Т.е. что кроме гидростатического давления, связанного с силой тяжестью, у нас будет ещё давление, связанное с ударами?

Именно удары молекул о стенку и создают давление жидкости\газа на эту стенку. Молекулы жидкости\газа не покоятся в соприкосновении со стенками или дном сосуда, они все время колошматят в стенки и дно, все время отскакивают и так бесконечно, потому что эти столкновения абсолютно упругие. И вот именно эти удары с отскоками - это и есть механизм создания давления на стенки/дно.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1384195 писал(а):

А когда вы говорите о ударах молекул между собой и соответственно об стенки сосуда, то значит ли это, что мы рассматриваем нестатический случай? Т.е. что кроме гидростатического давления, связанного с силой тяжестью, у нас будет ещё давление, связанное с ударами?

Нет, статический, но на микроуровне молекулы в тепловом движении постоянно скачут. Это не "кроме", это оно и есть.

[amon]

misha.physics в сообщении #1384195 писал(а):

по какому механизму оно "добежит" и почему именно "ровно".

Если мы договорились, что сила это градиент давления, то все просто. Рассмотрим "кусочек жидкости", прилегающий к стенке. Давление внутри кусочка $P,$ он действует на стенку ровно с этой силой (жидкости в стенке нет, значит давление жидкости в стенке 0). Если стенка перпендикулярна оси $x$ и проходит через начало координат, то соответствующая сила будет $P\delta(x).$ Со стороны стенки на жидкость будет действовать такая же сила, но другой природы, связанная с упругостью стенки.

Отличие жидкости от твердых тел в том, что в ней в статике (почти) отсутствуют касательные напряжения - один слой жидкости можно сдвинуть относительно другого приложив сколь угодно малую силу, но это я уже про запретное - про тензора.

[misha.physics]

wrest, спасибо, я просто думал, что кроме ударов молекул об дно/стенки, есть ещё часть давления на дно/стенки, связанная с соприкосновением молекул с дном/стенками. Как, например, в давлении одного твёрдого тела на другое, где давление связано с силой веса.

amon,

amon в сообщении #1384221 писал(а):

Со стороны стенки на жидкость будет действовать такая же сила, но другой природы, связанная с упругостью стенки.

А природа силы, действующей кусочком жидкости, прилегающем к стенке, на стенку разве не будет тоже силой упругости?

amon в сообщении #1384221 писал(а):

Давление внутри кусочка $P$

Это значит, что если мы будем рассматривать поверхность этого кусочка как стенки некого сосуда, то на них будет действовать сила, связанная с давлением $P$, я правильно понимаю?

Т.е. статическая жидкость посредством ударов молекул между собой и со стенками передает без изменений и во все стороны одинаково гидростатическое давление, связанное с весом столба жидкости на данной высоте $h$. И это давление равно $\rho gh$.

[amon]

misha.physics в сообщении #1384235 писал(а):

Т.е. статическая жидкость посредством ударов молекул между собой и со стенками передает без изменений и во все стороны одинаково гидростатическое давление, связанное с весом столба жидкости на данной высоте $h$. И это давление равно $\rho gh$.

Точно так!

misha.physics в сообщении #1384235 писал(а):

А природа силы, действующей кусочком жидкости, прилегающем к стенке, на стенку разве не будет тоже силой упругости?

Будет. Но упругие силы в жидкости и твердом теле устроены по-разному. Стоит на столе деревянный кубик. За стол он "держится" только нижней гранью. Верхняя грань норовит соскользнуть на стол, но при попытке сделать это возникают упругие силы, направленные, в том числе, и в плоскости грани. В жидкости таких сил нет, и она благополучно растекается лужей. Поэтому (в первом приближении) упругое состояние жидкости можно описать одним скалярным параметром - давлением, а для твердого тела приходится использовать несколько.

[SNet]

misha.physics в сообщении #1384195 писал(а):

Из нее ведь не следует, что давление на стенки будет именно таким же, правда?

Рассмотрим жидкую среду в случае статики и в однородном поле тяготения. Мысленно выделим в ней куб, прочертив его границу. В той гидростатике, где жидкость давит на стенку как ро-жэ-аш, пренебрегают эффектами на границе, поэтому разницы с мысленным кубом никакой. А теперь просто применим к нашей среде уравнение Эйлера.

[misha.physics]

SNet,

SNet в сообщении #1384300 писал(а):

В той гидростатике, где жидкость давит на стенку как ро-жэ-аш,

Меня как раз и интересовало, откуда следует, что жидкость будет давить на стенку, как $\rho gh$.
Я только имел ввиду, что из уравнения $\rho\vec g = \nabla p$ не следует, что давление на стенку будет $\rho gh$, ведь если мы спроектируем это уравнение на ось $Ox$, перпендикулярную $\vec g$, то получим $\frac{\partial p}{\partial x}=0$, т.е. $p$ не изменяется в плоскости, нормальной к $\vec g$, но из этого не следует, что давление на стенку, параллельную с $\vec g$ будет $\rho gh$.
Но теперь, выяснив, что давление в покоящейся жидкости передается посредством ударов, я могу поверить, что давление во все стороны передается одинаково. Кстати, здесь нужно рассматривать изменения импульсов молекул при ударе, чтобы получить, что давление на стенки будет $\rho gh$?

[wrest]

(misha.physics - об импульсах)

misha.physics в сообщении #1384349 писал(а):

Кстати, здесь нужно рассматривать изменения импульсов молекул при ударе, чтобы получить, что давление на стенки будет $\rho gh$?

Допустим, что мы отпускаем один шарик с высоты $h$ и он абсолютно упруго отскакивает от пола. Каждый отскок будет сопровождаться изменением импульса шарика равным $\Delta p=2mv$, где $v$ -- скорость шарика относительно пола в момент удара. Эта скорость равна $v=\sqrt{2gh}$ Период ударов будет $T=2\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ а частота ударов соответственно $f=T^{-1}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{g}{2h}}$
Сила это изменение импульса за единицу времени, $F=\dfrac{\Delta p}{\Delta t}$
А давление -- это сила, приложенная к единице площади $P=\dfrac{F}{S}$

Всего, за единицу времени, в среднем, на пол приходится "приток" (поток) импульса пропорциональный изменению импульса одного шарика, умноженному на частоту ударов, т.е. $F \propto \Delta p \cdot f =2m\sqrt{2gh}\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{g}{2h}}=mg$
То есть шарик создаст среднее давление на пол равное силе $mg$ делить на соотв. площадь пола.
Это все вроде масло масляное, но показывает, что давление такого подскакивающего шарика будет просто равно $mg$ делить на площадь. Независимо (!) от высоты, с которой падает шарик, т.к. чем больше высота тем меньше частота ударов. Теперь у нас шариков очень много и все они допустим подскакивают вертикально но между собой не сталкиваются. Тогда "давление" (поток импульса падающих на пол шариков) умножаем на количество шариков.
Если количество шариков нам неизвестно, но известна их средняя плотность (не самих шариков, а с учетом площади на которую они падают, т.е. известна суммарная масса всех шариков над этой площадью, делёная на объем -- а объем это площадь основания умножить на высоту), то в результате мы и получим что $P=\dfrac{mg}{S}=\rho gh$
Теперь добавляем вертикальные стены и пусть шарики сталкиваются между собой и со стенами абсолютно упруго. Это опять же ничего не меняет, т.к. мы видели, что независимо от высоты, на которую подскакивает шарик, среднее давление, которое он оказывает на пол, определяется только массой шарика (и ускорением свободного падения ессно). В газах плотность с высотой уменьшается намного бытрее чем в жидкостях, из-за практически несжимаемости жидкостей, это конечно надо учесть например беря не плотность $\rho$ а её зависимость от высоты $\rho (h)$, для жидкостей это пркатически постоянная величина, $\rho(h)=const $ Но тем не менее, формула $P=\rho gh$ просто говорит нам, что мы вычисляем массу над элементарной площадкой исходя из постоянной плотности жидкости над этой площадкой, т.е. когда плотность не зависит от высоты. А если бы зависела, то мы бы просто спросили -- а какова масса над единичной площадкой? И написали бы что $P=mg/S$ где $m$ это масса газа/жидкости над площадкой а $S$ - площадь площадки.