Непонятное множество

[Pennywise]

Здравствуйте. В книге Bloch ''The Real Numbers and the Real Analysis'' на странице 87 дана следующая теорема ($s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ — функция из аксиом Пеано, которая каждому натуральному числу ставит в соответствие последующее за ним число).

Пусть $H$ — некоторое множество, пусть $e \in H$ и пусть $k: H \rightarrow H$ — некоторая функция. Тогда существует единственная функция $f: \mathbb{N} \rightarrow H$ такая, что $f(1)=e$ и $f(s(n))=k(f(n))$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Доказательство существования подобной функции, приведённое в книге, существенным образом опирается на использование следующего множества:

$$ \mathcal{C} = \lbrace W \subseteq \mathbb{N} \times H \mid (1, e) \in W, \text{и если } (n, y) \in W, \text{то и } (s(n), k(y)) \in W \rbrace . $$

Доказательство теоремы длинное, но в общем я его понял. А вот в трюк с множеством $\mathcal{C}$ пришлось только поверить. Автор никак этот момент не упоминает, но книга явно рассчитана на людей моего уровня, то есть не обременённых знанием аксиоматической теории множеств. Я в своей жизни встречал только множества вида M = $\lbrace x \mid P(x) \rbrace$ , где $P(x)$ — свойство объекта, которое никак не учитывает множество $M$.
Можно ли где-то узнать про множества типа $\mathcal{C}$, не особо углубляясь в теорию множеств? Я прошу прощения за сумбурное изложение, но по-другому не выходит.

[Someone]

Pennywise в сообщении #1329230 писал(а):

Можно ли где-то узнать про множества типа $\mathcal{C}$, не особо углубляясь в теорию множеств? Я прошу прощения за сумбурное изложение, но по-другому не выходит.

Можно. В формализованных теориях такие "определения" не допускаются, а в неформализованных это надо воспринимать как некую "вольность речи". На самом деле, видимо, имеется в виду определение по индукции (по натуральным числам), и существование следует из аксиомы индукции. Но я не знаю контекста.

[mihaild]

Pennywise в сообщении #1329230 писал(а):

Я в своей жизни встречал только множества вида $M = \lbrace x \mid P(x) \rbrace$ , где $P(x)$ — свойство объекта, которое никак не учитывает множество $M$

Так и тут не используется. Мы определяем множество $\mathcal C$ как множество всех подмножеств $\mathbb N \times H$,удовлетворяющих некоторому свойству.

[Someone]

mihaild в сообщении #1329253 писал(а):

Так и тут не используется.

Точно. Что-то я невнимательно посмотрел. Pennywise, слушайте mihaild, он правильно говорит.

[Pennywise]

mihaild, Someone, извините, я, как оказалось, другое имел в виду.

Pennywise в сообщении #1329230 писал(а):

Можно ли где-то узнать про множества типа $\mathcal{C}$, не особо углубляясь в теорию множеств?

Тут $\mathcal{C}$ следует заменить на $W$.

То есть, хорошо, пусть $\mathcal{C}$ есть множество таких $W$, которые удовлетворяют вышеприведённому свойству. А сами $W$ можно ли представить в виде $W = \lbrace (a, b), a \in \mathbb{N}, b \in H \mid \text{удовлетворяется нужное свойство} \rbrace$? Или это уже другой вопрос, к делу не относящийся?

Просто возникает ещё такой момент. Доказать, что $\mathcal{C}$ не пусто — несложно, $\mathbb{N} \times H$ удовлетворяет всем требованиям. А как предъявить ещё какое-то множество из $\mathcal{C}$?

[Someone]

Pennywise в сообщении #1329284 писал(а):

$W = \lbrace (a, b), a \in \mathbb{N}, b \in H \mid \text{удовлетворяется нужное свойство} \rbrace$

"Нужное свойство" должно выражаться через $a$ и $b$ и не содержать упоминания $W$. В качестве параметров могут использоваться ранее определённые объекты.

[gefest_md]

Pennywise в сообщении #1329284 писал(а):

Доказать, что $\mathcal{C}$ не пусто — несложно, $\mathbb{N} \times H$ удовлетворяет всем требованиям. А как предъявить ещё какое-то множество из $\mathcal{C}$?

Если $\mathcal{C}\ne\varnothing$, то этого достаточно чтобы построить множество $\bigcap\limits_{W\in\matcal{C}}W.$ Это следует из аксиомы выделения. В учебнике далее доказывается, что множество $\bigcap\limits_{W\in\matcal{C}}W$ тоже принадлежит $\mathcal{C}.$

[george66]

Идея такая: возьмём график функции $f$. Это будет множество пар $W\subseteq\mathbb{N}\times H$ (его элементы имеют вид $(n,f(n))$) и оно обладает указанным свойством
$(1,e)\in W$ и для каждого $n$ если $(n,y)\in W$ то $(s(n),k(y))\in W$
Далее, $W$ должно быть наименьшим множеством пар с указанным свойством. Поэтому определим его как пересечение всех множеств с указанным свойством и проверим, что получилось то, что надо.

[mihaild]

Pennywise в сообщении #1329284 писал(а):

А сами $W$ можно ли представить в виде $W = \lbrace (a, b), a \in \mathbb{N}, b \in H \mid \text{удовлетворяется нужное свойство} \rbrace$? Или это уже другой вопрос, к делу не относящийся?

Нет, нельзя. Т.к. $W$ бывают разные, то нам для каждого нужно свое свойство.
Мы сначала берем множество $X = 2^{\mathbb{N} \times H}$ (существование декартова произведения и булеана должно доказываться раньше). Потом из него по аксиоме выделения строим $\mathcal C = \{W \in X | (1, e) \in W \wedge \ldots\}$.

[Pennywise]

Всем большое спасибо за ответы.