Об аксиоме выделения

[maximav]

Поясните пожалуйста, почему аксиома выделения имеет такое название? И в догонку. Я правильно понимаю, что свойство $P$ в ней для самой аксиоматики множеств является независимо внешним и может формулироваться в любой логике? Я имел в виду, в первую очередь, логику 0-го, 1-го и, вообще, любого порядка. По крайней мере, если тупо взять всю ZFC систему, то эта буква $P$ в ней совершенно инородна и непосредственно вокруг самой системы аксиом ZFC я не встречал внятного растолковывания там, что есть $P$.

[Someone]

maximav в сообщении #1247658 писал(а):

почему аксиома выделения имеет такое название?

Потому что с её помощью из заданного множества выделяется некоторое подмножество (точнее, аксиома утверждает, что совокупность всех элементов заданного множества, выделяемых условием $P$, является множеством).

maximav в сообщении #1247658 писал(а):

Я правильно понимаю, что свойство $P$ в ней для самой аксиоматики множеств является независимо внешним и может формулироваться в любой логике?

Ни в коем случае. Условие $P$ должно быть сформулировано в языке ZFC. Если это условие не формализуется в ZFC, то аксиома ничего не обещает, и выделенное семейство не обязано быть множеством.

[Xaositect]

ZFC это теория первого порядка. $P$ в аксиоме выделения это любая формула языка ZFC.

[maximav]

Someone в сообщении #1247668 писал(а):

Потому что с её помощью из заданного множества выделяется некоторое подмножество

С "выделением" все-таки не ясно. С каким (уже легальным) множеством имеет дело эта аксиома, из которого она потом делает выделение? Подробнее. Мои догадки здесь такие (неформально). Начинаем работать с некоторым множеством. Это высказывание из мета-языка. Потом создаем формальную последовательность логических высказываний и называем ее буквой $P(x)$, где $x$ свободная переменная (а где здесь исходное множество?). Окончательно, объявляем, что совмещение двух предыдущих пунктов множеством. Рассуждение на пальцах корректно? Дополнительно. Разве все аксиомы из ZFC не есть правила по которым мы объявляем некий набор (слово из метаязыка) или класс множеством? То есть, грубо, правила - это логика, ну а множества - это доп надстройка $\in$ со своими доп правилами... ?

[Xaositect]

Схема аксиома выделения: $\forall w \forall u \exists z\, \forall x (x \in z \leftrightarrow x \in u \land P(x, w))$. $u$ - это множество, а $z$ - выделяемое подмножество всех элементов $u$, удовлетворяющих $P$. Аксиома утверждает, что $z$ существует, и оно обычно обозначается $\{ x \in u \mid P(x, w)\}$. $w$ - это какие-то параметры, например, параметры $f$ и $c$ в $\{x \in \mathbb R^n \mid f(x) = c\}$

[maximav]

Ок, стало яснее. Пока подумаю ...

[george66]

Аксиома выделения утверждает: если уже есть какое-то множество $u$ (оно не обязано быть заданным какой-бы то ни было формулой) и есть формула языка ZF, мы можем взять кусочек $u$, состоящий из тех элементов, для которых верна эта формула.

[maximav]

Я понемногу просекаю. Ключевой символ в последнем посте Xaositect - это $\exists z$