2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непонятное множество
Сообщение28.07.2018, 02:16 


25/11/16
36
Здравствуйте. В книге Bloch ''The Real Numbers and the Real Analysis'' на странице 87 дана следующая теорема ($s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ — функция из аксиом Пеано, которая каждому натуральному числу ставит в соответствие последующее за ним число).

Пусть $H$ — некоторое множество, пусть $e \in H$ и пусть $k: H \rightarrow H$ — некоторая функция. Тогда существует единственная функция $f: \mathbb{N} \rightarrow H$ такая, что $f(1)=e$ и $f(s(n))=k(f(n))$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Доказательство существования подобной функции, приведённое в книге, существенным образом опирается на использование следующего множества:
$$ \mathcal{C} = \lbrace W \subseteq \mathbb{N} \times H \mid (1, e) \in W, \text{и если } (n, y) \in W, \text{то и } (s(n), k(y)) \in W \rbrace . $$

Доказательство теоремы длинное, но в общем я его понял. А вот в трюк с множеством $\mathcal{C}$ пришлось только поверить. Автор никак этот момент не упоминает, но книга явно рассчитана на людей моего уровня, то есть не обременённых знанием аксиоматической теории множеств. Я в своей жизни встречал только множества вида M = $\lbrace x \mid P(x) \rbrace$ , где $P(x)$ — свойство объекта, которое никак не учитывает множество $M$.
Можно ли где-то узнать про множества типа $\mathcal{C}$, не особо углубляясь в теорию множеств? Я прошу прощения за сумбурное изложение, но по-другому не выходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятное множество
Сообщение28.07.2018, 11:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Pennywise в сообщении #1329230 писал(а):
Можно ли где-то узнать про множества типа $\mathcal{C}$, не особо углубляясь в теорию множеств? Я прошу прощения за сумбурное изложение, но по-другому не выходит.
Можно. В формализованных теориях такие "определения" не допускаются, а в неформализованных это надо воспринимать как некую "вольность речи". На самом деле, видимо, имеется в виду определение по индукции (по натуральным числам), и существование следует из аксиомы индукции. Но я не знаю контекста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятное множество
Сообщение28.07.2018, 11:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Pennywise в сообщении #1329230 писал(а):
Я в своей жизни встречал только множества вида $M = \lbrace x \mid P(x) \rbrace$ , где $P(x)$ — свойство объекта, которое никак не учитывает множество $M$
Так и тут не используется. Мы определяем множество $\mathcal C$ как множество всех подмножеств $\mathbb N \times H$,удовлетворяющих некоторому свойству.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятное множество
Сообщение28.07.2018, 11:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
mihaild в сообщении #1329253 писал(а):
Так и тут не используется.
Точно. Что-то я невнимательно посмотрел. Pennywise, слушайте mihaild, он правильно говорит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятное множество
Сообщение28.07.2018, 14:48 


25/11/16
36
mihaild, Someone, извините, я, как оказалось, другое имел в виду.
Pennywise в сообщении #1329230 писал(а):
Можно ли где-то узнать про множества типа $\mathcal{C}$, не особо углубляясь в теорию множеств?


Тут $\mathcal{C}$ следует заменить на $W$.

То есть, хорошо, пусть $\mathcal{C}$ есть множество таких $W$, которые удовлетворяют вышеприведённому свойству. А сами $W$ можно ли представить в виде $W = \lbrace (a, b), a \in \mathbb{N}, b \in H \mid \text{удовлетворяется нужное свойство} \rbrace$? Или это уже другой вопрос, к делу не относящийся?

Просто возникает ещё такой момент. Доказать, что $\mathcal{C}$ не пусто — несложно, $\mathbb{N} \times H$ удовлетворяет всем требованиям. А как предъявить ещё какое-то множество из $\mathcal{C}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятное множество
Сообщение28.07.2018, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Pennywise в сообщении #1329284 писал(а):
$W = \lbrace (a, b), a \in \mathbb{N}, b \in H \mid \text{удовлетворяется нужное свойство} \rbrace$
"Нужное свойство" должно выражаться через $a$ и $b$ и не содержать упоминания $W$. В качестве параметров могут использоваться ранее определённые объекты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятное множество
Сообщение28.07.2018, 17:48 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
Pennywise в сообщении #1329284 писал(а):
Доказать, что $\mathcal{C}$ не пусто — несложно, $\mathbb{N} \times H$ удовлетворяет всем требованиям. А как предъявить ещё какое-то множество из $\mathcal{C}$?
Если $\mathcal{C}\ne\varnothing$, то этого достаточно чтобы построить множество $\bigcap\limits_{W\in\matcal{C}}W.$ Это следует из аксиомы выделения. В учебнике далее доказывается, что множество $\bigcap\limits_{W\in\matcal{C}}W$ тоже принадлежит $\mathcal{C}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятное множество
Сообщение28.07.2018, 21:17 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Идея такая: возьмём график функции $f$. Это будет множество пар $W\subseteq\mathbb{N}\times H$ (его элементы имеют вид $(n,f(n))$) и оно обладает указанным свойством
$(1,e)\in W$ и для каждого $n$ если $(n,y)\in W$ то $(s(n),k(y))\in W$
Далее, $W$ должно быть наименьшим множеством пар с указанным свойством. Поэтому определим его как пересечение всех множеств с указанным свойством и проверим, что получилось то, что надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятное множество
Сообщение29.07.2018, 00:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Pennywise в сообщении #1329284 писал(а):
А сами $W$ можно ли представить в виде $W = \lbrace (a, b), a \in \mathbb{N}, b \in H \mid \text{удовлетворяется нужное свойство} \rbrace$? Или это уже другой вопрос, к делу не относящийся?
Нет, нельзя. Т.к. $W$ бывают разные, то нам для каждого нужно свое свойство.
Мы сначала берем множество $X = 2^{\mathbb{N} \times H}$ (существование декартова произведения и булеана должно доказываться раньше). Потом из него по аксиоме выделения строим $\mathcal C = \{W \in X | (1, e) \in W \wedge \ldots\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятное множество
Сообщение29.07.2018, 15:10 


25/11/16
36
Всем большое спасибо за ответы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group