Локальная метрика в общей топологии

[Ioda]

Пусть в метрическом пространстве $(M,d_0)$ определено подмножество $N\subsetM$ ,которое также является метрическим пространством $(N,d_1)$ ,где метрика $d_1$ отлична от метрики $d_0$ на множестве $N$. Рассмотрим $\varepsilon$-шар в метрике множества $N$ ,тогда как определить расстояние от произвольной точки данного шара до произвольной точки множества $M$?

[mihaild]

Ну например так же как и между двумя произвольными точками $M$ - $d_0(x, y)$. А вообще - зависит от того, что дальше с этим хочется делать.

[Ioda]

mihaild ,конечно данный способ тоже наверняка приемлем, но что если при пересчете в метрике $d_0$ ,например нарушается неравенство треугольника и например именно для его сохранения вводится метрика $d_1$?

[Someone]

Ioda в сообщении #1329035 писал(а):

что если при пересчете в метрике $d_0$ ,например нарушается неравенство треугольника

С какой стати?

Ioda в сообщении #1329035 писал(а):

и например именно для его сохранения вводится метрика $d_1$

Вздорная причина.
Я вполне могу представить ситуацию, когда на подмножестве метрического пространства, кроме общей для всего пространства, есть ещё своя метрика, но невозможно использовать метрику, определённую на подмножестве, за пределами этого подмножества.

Ioda в сообщении #1328968 писал(а):

Рассмотрим $\varepsilon$-шар в метрике множества $N$ ,тогда как определить расстояние от произвольной точки данного шара до произвольной точки множества $M$?

С помощью метрики $d_1$, очевидно, никак. С помощью метрики $d_0$ — очевидно, как.

[Ioda]

Someone , один встречный вопрос :является ли объединение пространств $(N,d_1)$ и $(N_0,d_0)$, таких что их пересечение - пустое множество, исходным пространством $M$? Если да ,то причина очевидна : аксиомы метрики $d_0$ выполняются только для точек пространства $N_0$(хотя не исключено ,что для точек пространства $N$ они тоже могут выполняться ), если нет ,то действительно ни одна из аксиом метрики $d_0$ не должна нарушаться в пространстве $N$ ,или нет?

[Lia]

Оффтоп отделен в «Локальная метрика в общей топологии»

[mihaild]

Ioda в сообщении #1329160 писал(а):

является ли объединение пространств $(N,d_1)$ и $(N_0,d_0)$, таких что их пересечение - пустое множество, исходным пространством $M$?

Нет. Метрические пространства нельзя просто так объединять - у нас возникают пары (точка из одного пространства, точка из другого), расстояния между которыми брать неоткуда.

Ioda в сообщении #1329160 писал(а):

аксиомы метрики $d_0$ выполняются только для точек пространства $N_0$(хотя не исключено ,что для точек пространства $N$ они тоже могут выполняться )

Исключено. Если $d_0$ - метрика на $N_0$, то она просто не определена на точках не из $N_0$.