Локальная метрика в общей топологии

[pogulyat_vyshel]

Возникает вопрос (в духе теоремы Хана-Банаха).Пусть у нас имеется метрическое пространство $(X,d_X)$ и его подмножество $Y\subset X$. На $Y$ определена метрика $d_Y$.

Верно ли что

1) Если на $Y$ выполнено неравенство $d_Y\le d_X$ то метрика $d_Y$ продолжается до метрики на $X$ с сохранением указанного неравенства?

2) Eсли топология заданная на $Y$ метрикой $d_Y$ слабее чем топология заданная метрикой $d_X$ то $d_Y$ можно продолжить на $X$ с сохранением указанного свойства

3) Eсли топология заданная на $Y$ метрикой $d_Y$ слабее чем топология заданная метрикой $d_X$ то
существует метрика $d$ определенная на $X$ такая, такая, что топология ,заданная $d$ на $Y$ эквивалентная топологии заданной $d_Y$ и топология заданная $d$ на $X$ слабее топологии заданной $d_X$

Lia: Отпилено из ПРР от «Локальная метрика в общей топологии»

[mihaild]

(ответ на 1)

Не очень понял, это предлагается для размышления всем желающим или ТС, но имхо вопрос интересный, хотя и не особо сложный.
Возьмем $X = [0; 1]$ со стандартной метрикой, $Y = (0; 1)$, введем на нем метрику $d_Y(a, b) = \min(|a - b|, 1 - |a - b|)$ (свернем $[0; 1)$ в окружность, возьмем индуцированную метрику, выкинем $0$). Если $d \leqslant d_X$, то $d(0, 1) \leqslant 2\varepsilon + d_Y(\varepsilon, 1 - \varepsilon) = 4\varepsilon$.

[pogulyat_vyshel]

я не понял, что вы написали

[mihaild]

pogulyat_vyshel в сообщении #1329141 писал(а):

я не понял, что вы написали

Я не понял, что вы не поняли.
Я написал контрпример к утверждению из вашего первого вопроса.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1329164 писал(а):

Я не понял, что вы не поняли.
Я написал контрпример к утверждению из вашего первого вопроса.

ну вы ведь наверное статьи пишите? значит как надо оформлять математический текст знаете. У меня в вопросе две метрики, а у вас в тексте 3 метрики ($d,d_X,d_Y$) и ни каких объяснений этого. Это не текст, это хамство.

[mihaild]

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1329167 писал(а):

ну вы ведь наверное статьи пишите?

Нет, не пишу, но согласен, что пропускаю больше, чем можно было бы в статьях. Но при этом (стараюсь) так, что даже если и пропустил слишком много, можно указать первый непонятный момент.
$d$ у меня - гипотетическая метрика, являющаяся продолжением $d_Y$ на всё $X$ со свойством $d \leqslant d_X$. Т.е. та, о существовании которой вы спрашиваете.
Более четко рассуждение выглядит так: рассмотрим $X, Y, d_X, d_Y$. Пусть $d$ - нужное нам продолжение. Тогда $\forall \varepsilon: d(0, 1) \leqslant 4\varepsilon$. Так не бывает, значит продолжения нет.

[DeBill]

mihaild
Ну, уж если рожать нечто в духе Хана-Банаха, надо требовать что-то типа замкнутости подмножества. Контрпример умрет...