2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 найти значения аргументов, при которых достигается минимум
Сообщение26.07.2018, 12:39 
Аватара пользователя


21/06/18
328
Используя методы, доступные абитуриенту, найти при каких $x,y\in (0;\dfrac{\pi}{2})$ достигается минимум выражения:
$(1+\dfrac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin(x+y)})(1+\dfrac{2\cos x}{3\cos y})^2(1+\dfrac{\sin(x+y)}{7\sqrt{5}\cos x})^4$ (1)

Бессодержательные попытки решения:
Минимальность $(1)$ равносильна минимуму суммы
$\dfrac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin(x+y)}+\dfrac{2\cos x}{3\cos y}+\dfrac{\sin(x+y)}{7\sqrt{5}\cos x}$
Я пробовал и складывать и рассматривать различные варианты типа $x>y$ и $y>x$ ( мне кажется, один из ответов $x=y=\dfrac{\pi}{4}$ и я хотел получить какую-то оценку, приводящую к нему). Подскажите идею решения, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: найти значения аргументов, при которых достигается минимум
Сообщение26.07.2018, 13:00 
Заслуженный участник


16/02/13
4214
Владивосток
follow_the_sun в сообщении #1328898 писал(а):
минимуму суммы
$\dfrac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin(x+y)}+\dfrac{2\cos x}{3\cos y}+\dfrac{\sin(x+y)}{7\sqrt{5}\cos x}$
$\dfrac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin(x+y)}+2\dfrac{2\cos x}{3\cos y}+4\dfrac{\sin(x+y)}{7\sqrt{5}\cos x}$, не?

 Профиль  
                  
 
 Re: найти значения аргументов, при которых достигается минимум
Сообщение26.07.2018, 13:14 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
follow_the_sun
поздравляю вас с прошедшими экзаменами в МГУ :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: найти значения аргументов, при которых достигается минимум
Сообщение26.07.2018, 13:23 
Заблокирован


16/04/18

1129
Всё неотрицательно. Значит, когда первая скобка равна нулю, а остальные просто определены.
Останется упражнений на формулу вспомогательного аргумента с учётом приятного равенства $4+5=9=3^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: найти значения аргументов, при которых достигается минимум
Сообщение26.07.2018, 13:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
novichok2018 в сообщении #1328908 писал(а):
Всё неотрицательно. Значит, когда первая скобка равна нулю, а остальные просто определены.
Останется упражнений на формулу вспомогательного аргумента с учётом приятного равенства $4+5=9=3^2$.


Нет, при заданных условиях здесь все тригонометрические выражения положительны.

На самом деле, все сводится к оценке $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ для $a,b>0$ (иногда примененной несколько раз).

 Профиль  
                  
 
 Re: найти значения аргументов, при которых достигается минимум
Сообщение26.07.2018, 14:44 
Заблокирован


16/04/18

1129
Согласен, ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: найти значения аргументов, при которых достигается минимум
Сообщение26.07.2018, 15:01 
Аватара пользователя


21/06/18
328
pogulyat_vyshel

(Оффтоп)

Спасибо, конечно .Я учусь на инженера :wink: . В МГУ сдавал в прошлом году, спокойно проходил на геофак, но на мехмат не хватило (ДВИ 75), так что все равно спасибо. Тогда, кстати, очень расстроился, но сейчас понимаю, все сложилось, вобщем-то к лучшему

 Профиль  
                  
 
 Re: найти значения аргументов, при которых достигается минимум
Сообщение26.07.2018, 15:40 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
follow_the_sun в сообщении #1328929 писал(а):
В МГУ сдавал в прошлом году,

А задвчу выложили с экзаменов этого года, которые только что закончились

 Профиль  
                  
 
 Re: найти значения аргументов, при которых достигается минимум
Сообщение26.07.2018, 16:47 
Аватара пользователя


21/06/18
328
alisa-lebovski
У меня получилось (вашим методом), из минимальности первых двух членов произведения:
$1=\dfrac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin(x+y)}$
$3\cos y=2\cos x$
Отсюда можно найти некоторые углы

-- 26.07.2018, 17:48 --

pogulyat_vyshel
Ну да. Она ведь есть в группе в вк мехмата.

 Профиль  
                  
 
 Re: найти значения аргументов, при которых достигается минимум
Сообщение26.07.2018, 17:00 
Заблокирован


16/04/18

1129
В выписанной системе очепятка или решений нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: найти значения аргументов, при которых достигается минимум
Сообщение26.07.2018, 17:31 
Аватара пользователя


21/06/18
328
novichok2018
поправил

 Профиль  
                  
 
 Re: найти значения аргументов, при которых достигается минимум
Сообщение26.07.2018, 18:04 
Заблокирован


16/04/18

1129
Первое уравнение всё равно на вспомогательный угол. Или есть короткий путь решения системы?

 Профиль  
                  
 
 Re: найти значения аргументов, при которых достигается минимум
Сообщение26.07.2018, 18:13 
Аватара пользователя


21/06/18
328
novichok2018
Я раскрыл синус суммы, потом выразил $\cos x$ из второго ур-я

 Профиль  
                  
 
 Re: найти значения аргументов, при которых достигается минимум
Сообщение26.07.2018, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
Первое уравнение верно, второе уже нет. Там надо дойти до корня четвертой степени, двойным применением неравенства (разбив единицу на части), чтобы возведением в квадрат частично сократилось до квадратного корня. Соответственно, в третьем слагаемом дойти до корня восьмой степени, чтобы частично сократилось возведением в четвертую степень.

 Профиль  
                  
 
 Re: найти значения аргументов, при которых достигается минимум
Сообщение26.07.2018, 22:35 
Аватара пользователя


26/05/12
1787
приходит весна?
Разве не так эту задачу надо начинать решать:$$\frac{2\cos x}{3\cos y}=a-1$$$$\frac{\sin \left( x+y \right)}{7\sqrt{5}\cos x}=b-1$$$$\[\frac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin \left( x+y \right)}=\frac{1}{21}\frac{3\cos y}{2\cos x}\frac{7\sqrt{5}\cos x}{\sin \left( x+y \right)}=\frac{1}{21\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)}\]$$$$\[\left( 1+\frac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin \left( x+y \right)} \right){{\left( 1+\frac{2\cos x}{3\cos y} \right)}^{2}}{{\left( 1+\frac{\sin \left( x+y \right)}{7\sqrt{5}\cos x} \right)}^{4}}=\left( 1+\frac{1}{21\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)} \right){{a}^{2}}{{b}^{4}}\]$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: kthxbye


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group