2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Башня расширений
Сообщение19.07.2018, 22:01 


06/09/17
112
Москва
Пусть $K_n \subset \ldots \subset K_0$, $char K_n = 0$, $\left[ K_i : K_{i+1} \right] = 2$

Доказать, что расширение $K_n \subset K_0$ нормально.

Понятно, что все возможные пары образуют алгебраические и сепарабельные расширения. Понятно, что следующие друг за другом поля образуют нормальные расширения, так как индексы их равны двойке.

Больше ничего сказать про это не могу. Помогите, пожалуйста -- по идее, это очень легко доказывается, но я минут 15 уже не могу это сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Башня расширений
Сообщение19.07.2018, 23:00 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
А каким определением (критерием) нормальности расширения Вы пытались воспользоваться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Башня расширений
Сообщение19.07.2018, 23:32 


06/09/17
112
Москва
$F \subset K$ сепарабельное, алгебраическое, и выполнено одно из следующих условий:
1) Является полем разложения некоторого многочлена из $F\left[x\right]$
2) Вместе с любым элементом содержит все сопряженные
3) Любой гомоморфизм в алгебраическое замыкание $\phi: K \rightarrow \overline{K}$, тождественный на $F$, переводит $K$ в себя

 Профиль  
                  
 
 Re: Башня расширений
Сообщение20.07.2018, 00:47 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
Попробуйте воспользоваться 1-м пунктом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Башня расширений
Сообщение20.07.2018, 01:45 
Заслуженный участник


18/01/15
3237
Ой, дурят нашего брата ! Берите $n=2$, $K_2={\mathbb Q}$, $\alpha=\sqrt[4]2$ (положительный корень), $K_1={\mathbb Q}(\sqrt 2)$, $K_0={\mathbb Q}(\alpha)$. См. Ленг, Алгебра, гл.8, параграф 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Башня расширений
Сообщение20.07.2018, 08:57 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
vpb в сообщении #1327760 писал(а):
Ой, дурят нашего брата ! Берите $n=2$, $K_2={\mathbb Q}$, $\alpha=\sqrt[4]2$ (положительный корень), $K_1={\mathbb Q}(\sqrt 2)$, $K_0={\mathbb Q}(\alpha)$. См. Ленг, Алгебра, гл.8, параграф 2.
И в самом деле, ой!
А откуда упражнение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Башня расширений
Сообщение20.07.2018, 10:26 


06/09/17
112
Москва
vpb
Спасибо! Иначе я бы долго над этим сидел.

Это часть рассуждений из одной видеолекции, которую я не смог понять:
http://lectoriy.mipt.ru/lecture/Maths-RingField-L12-Ilinskiy-150514.03
(восьмая минута)

А можно ли как-то исправить ситуацию, если речь идёт о квадратичной башне, соответствующей построению циркулем и линейкой? Конечная цель -- чтобы все расширения в башне были квадратичными, и чтобы наибольшее расширение было нормальным и содержало некоторый наперед заданный элемент, который можно построить циркулем и линейкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Башня расширений
Сообщение20.07.2018, 19:38 
Заслуженный участник


18/01/15
3237
Если ${\mathbb Q}=K_0\subset K_1\subset\ldots\subset K_n=K$ --- башня полей, состоящая из квадратичных расширений, то существует $L\supset{\mathbb Q}$ такое, что $K\subseteq L$, $L/{\mathbb Q}$ нормально, и $L$ ---
последний член в некоторой квадратичной башне. В самом деле, $K_i=K_{i-1}(\alpha_i)$, где $\alpha_i$ квадратично над $K_{i-1}$. Пусть $\sigma_1,\ldots,\sigma_m$ --- все вложения $K$ в $\overline{\mathbb Q}$. Несложно понять, что поле
$${\mathbb Q}(\{\sigma_i\alpha_j\mid 1=1,\ldots,m,\ j=1,\ldots,n\})$$
нормально над ${\mathbb Q}$. Кроме того, если упорядочим элементы $\sigma_i\alpha_j$ как
$$\sigma_1\alpha_1,\ldots,\sigma_1\alpha_n, \sigma_2\alpha_1, \ldots, \sigma_m\alpha_n,$$
то каждый элемент или лежит в подполе, порожденном предыдущими, или квадратичен над ним.

 Профиль  
                  
 
 Re: Башня расширений
Сообщение21.07.2018, 01:07 


06/09/17
112
Москва
Огромное спасибо!
Буду осмысливать

 Профиль  
                  
 
 Re: Башня расширений
Сообщение21.07.2018, 14:17 


06/09/17
112
Москва
Я обдумал и дополнил то, что мне казалось неочевидным.

Множество вложений $m$ конечно, потому что любое вложение оставляет элементы $\mathbb{Q}$ "неподвижными", и расширение $K/\mathbb{Q}$ конечно -- любое вложение однозначно задаётся образом примитивного элемента, и переводит его в его сопряженный.
vpb в сообщении #1327940 писал(а):
Несложно понять, что поле
$${\mathbb Q}(\{\sigma_i\alpha_j\mid 1=1,\ldots,m,\ j=1,\ldots,n\})$$
нормально над ${\mathbb Q}$

Например, используя теорему о примитивном элементе, можно явно построить все вложения, переводящие примитивный в любой сопряженный ему.

vpb в сообщении #1327940 писал(а):
Кроме того, если упорядочим элементы $\sigma_i\alpha_j$ как
$$\sigma_1\alpha_1,\ldots,\sigma_1\alpha_n, \sigma_2\alpha_1, \ldots, \sigma_m\alpha_n,$$
то каждый элемент или лежит в подполе, порожденном предыдущими, или квадратичен над ним.

Потому что степень минимального многочлена $\sigma_i \alpha_j$ при таком упорядочении не превосходит степени $\alpha_j$ над $K_{j-1}=\mathbb{Q}(\alpha_{1:j-1})$, а последнее верно, потому что $\sigma_i(m_{\alpha_j, K_{j-1}})$ -- аннулирующий для $\sigma_i \alpha_j$ многочлен над $\sigma_i(K_{j-1})$.

Всё верно?

Я дважды использовал теорму о примитивном элементе. Можно ли здесь обойтись без неё (хотя бы в первом случае)? Понятно, что это ничего не даст с точки зрения конечного результата, потому что мы использовали много характеристик конкретно нашей башни, но всё же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Башня расширений
Сообщение21.07.2018, 18:09 
Заслуженный участник


18/01/15
3237
Прежде всего позвольте дать ссылку, где основные вещи о расширениях полей, вложениях и т.д. хорошо написаны.
Самые начальные сведения --- ван дер Варден, гл.6, пар. 37-41, правда там про изоморфизм полей разложения не самым понятным образом написано. Ленг, гл.7, пар.1--4. В остатках этих глав чуть более продвинутые сведения.
npetric в сообщении #1328055 писал(а):
Можно ли здесь обойтись без неё (хотя бы в первом случае)?
Вполне можно. Если $K\subseteq E$ --- расширение полей, $m=[E:K]$, и $\sigma:K\longrightarrow L$ --- вложение, то $\sigma$ продолжается на $E$ не более чем $m$ способами. И для этого существование примитивного элемента не обязательно (подробности в Ленге).

-- 21.07.2018, 17:20 --

npetric в сообщении #1328055 писал(а):
Например, используя теорему о примитивном элементе, можно явно построить все вложения, переводящие примитивный в любой сопряженный ему.
Здесь существование примитивного элемента вообще ни при чем. Нормальность того расширения следует практически из определений, если заметить, что поле $T={\mathbb Q}(\{\sigma_i\alpha_j\})$ есть минимальное подполе, порожденное всеми $\sigma_iK$. А если $\varphi$ --- любое вложение $T$ в $\overline{\mathbb Q}$, то $\varphi\sigma_i$ --- вложение для $K$, поэтому совпадает с каким-то $\sigma_j$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Башня расширений
Сообщение21.07.2018, 19:41 


06/09/17
112
Москва
vpb
Еще раз огромное спасибо! Иду читать рекомендованные вами книги.

 Профиль  
                  
 
 Re: Башня расширений
Сообщение22.07.2018, 00:25 
Заслуженный участник


18/01/15
3237
Рад был помочь (жаль, что не всегда для этого время находится). :-)

-- 21.07.2018, 23:30 --

npetric в сообщении #1328055 писал(а):
Потому что степень минимального многочлена при таком упорядочении не превосходит степени над , а последнее верно, потому что -- аннулирующий для многочлен над .
Всё верно?

(забыл раньше ответить. В цитате формулы не пропечатались, но понятно, о чем речь) Да, это рассуждение верное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Башня расширений
Сообщение25.07.2018, 21:25 


06/09/17
112
Москва
vpb в сообщении #1328100 писал(а):
Вполне можно. Если $K\subseteq E$ --- расширение полей, $m=[E:K]$, и $\sigma:K\longrightarrow L$ --- вложение, то $\sigma$ продолжается на $E$ не более чем $m$ способами.


Уточнение: $L$ здесь обязано быть алгебраически замкнуто?

В Ленге доказательство мультипликативности сепарабельной степени значительно на это опирается.

А если мы говорим, что $E = K(\alpha)$, то это требование можно опустить, верно? (хотя в Ленге с.196 в формулировке это есть)

 Профиль  
                  
 
 Re: Башня расширений
Сообщение25.07.2018, 21:32 
Заслуженный участник


18/01/15
3237
npetric в сообщении #1328806 писал(а):
Уточнение: здесь $L$ обязано быть алгебраически замкнуто?
Отнюдь. Обратите внимание, что не требуется равенства, а только меньше или равно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group