Я обдумал и дополнил то, что мне казалось неочевидным.
Множество вложений

конечно, потому что любое вложение оставляет элементы

"неподвижными", и расширение

конечно -- любое вложение однозначно задаётся образом примитивного элемента, и переводит его в его сопряженный.
Несложно понять, что поле
нормально над

Например, используя теорему о примитивном элементе, можно явно построить все вложения, переводящие примитивный в любой сопряженный ему.
Кроме того, если упорядочим элементы

как

то каждый элемент или лежит в подполе, порожденном предыдущими, или квадратичен над ним.
Потому что степень минимального многочлена

при таком упорядочении не превосходит степени

над

, а последнее верно, потому что

-- аннулирующий для

многочлен над

.
Всё верно?
Я дважды использовал теорму о примитивном элементе. Можно ли здесь обойтись без неё (хотя бы в первом случае)? Понятно, что это ничего не даст с точки зрения конечного результата, потому что мы использовали много характеристик конкретно нашей башни, но всё же.