Предел суммы

[Bosmer2]

Добрый вечер! Попался такой пример:
$\lim_{n \rightarrow \infty }\sum_{k=1}^\infty\frac{n}{n^2+k}$.
Сначала я расписал ряд как $\sum_{k=1}^\infty\frac{n}{n^2+k}=\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+...$
Можно ли тогда к каждому слагаемому отдельно применить предел? Тогда получится бесконечная сумма 0+0+0+0+0+0....
Значит предел такого ряда будет равен нулю? Могу ли я так рассуждать?
А в задании было сказано применить здесь теорему о двух жандармах, немного не понимаю чем можно ограничить эту сумму

[Otta]

Какие пределы суммирования на самом деле?

-- 23.07.2018, 01:16 --

Bosmer2 в сообщении #1328255 писал(а):

Можно ли тогда к каждому слагаемому отдельно применить предел?

Вообще говоря, нет.

[vpb]

Что-то не то с суммой, она при данном $n$ расходится, вроде как...

[Bosmer2]

Otta в сообщении #1328256 писал(а):

Какие пределы суммирования на самом деле?

Я подумал что в ряду изменение идет по переменной k, а предел мы считает по n, и поэтому можно подставить предел к каждому слагаемому. Иначе я не понимаю как быть... Что значит "какие пределы суммирования на самом деле?"

[Otta]

Bosmer2 в сообщении #1328260 писал(а):

Что значит "какие пределы суммирования на самом деле?"

Откуда докуда меняется индекс суммирования, $k$?

Задача переписана неверно, короче. Или уже в задачнике с опечаткой.

[Bosmer2]

Otta в сообщении #1328261 писал(а):

Bosmer2 в сообщении #1328260 писал(а):

Что значит "какие пределы суммирования на самом деле?"

Откуда докуда меняется индекс суммирования, $k$?

k изменяется от 1 до бесконечности

[Otta]

Это у Вас так. В исходнике так же?
Если оставить как есть, то у Вас ряд расходящийся, не?

[Bosmer2]

vpb в сообщении #1328258 писал(а):

Что-то не то с суммой, она при данном $n$ расходится, вроде как...

В ряду изменение идет по переменной $k$, то есть $n$ вроде как константа в самом суммировании.
А вот когда мы считаем предел, то уже по $n$
Поэтому вот я и запутался

[Otta]

Bosmer2 в сообщении #1328265 писал(а):

В ряду изменение идет по переменной $k$, то есть $n$ вроде как константа в самом суммировании.

Последний раз спрашиваю ))
Пусть $n=1$. Что делает этот Ваш ряд, в котором изменение по переменной $k$: сходится или нет? Почему?

[Bosmer2]

Otta в сообщении #1328266 писал(а):

Bosmer2 в сообщении #1328265 писал(а):

В ряду изменение идет по переменной $k$, то есть $n$ вроде как константа в самом суммировании.

Последний раз спрашиваю ))
Пусть $n=1$. Что делает этот Ваш ряд, в котором изменение по переменной $k$: сходится или нет? Почему?

Если так смотреть, то расходится. $\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{n}{n^2+k}\cdot\frac{k}{1}=n$, если использовать предельный признак сравнения.

[Otta]

Ну и чего ж Вы тогда от него хотите? Расходится ряд из положительных слагаемых. При каждом $n$. Значит, при каждом $n$ сумма равна чему?
А предел этих сумм?

[Bosmer2]

Otta в сообщении #1328269 писал(а):

Ну и чего ж Вы тогда от него хотите? Расходится ряд из положительных слагаемых. При каждом $n$. Значит, при каждом $n$ сумма равна чему?
А предел этих сумм?

Но предел-то все равно может быть равен нулю. При этом ряд может как сходится так и расходится. Здесь и $k$ и $n$ оба стремятся к бесконечности и я не понимаю что с ними двумя делать одновременно.......
Например предел гармонического ряда - это ноль, при этом он расходится.
А почему я не могу применить предел при $n$ стремящемся к бесконечности к каждому из данных слагаемых, если суммировался сам ряд не по $n$? (может глупый вопрос, но я реально не врубаюсь)

[Otta]

Bosmer2
Там нет никакого одновременно. Там все по очереди. Сперва сумммирование по $k$, а уже потом переход к пределу по $n$.
Еще раз, чему равна сумма $\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{n}{n^2+k}$, раз уж этот ряд расходится, как Вы утверждаете?

-- 23.07.2018, 02:21 --

Bosmer2 в сообщении #1328270 писал(а):

При этом ряд может как сходится так и расходится.

И определитесь сперва, что он может, а чего не может, а то что-то семь пятниц на неделе.

[Bosmer2]

Вы знаете, я кажется допер. Это примерно $\lim_{n \rightarrow \infty}\infty=\infty$ получается?
(только я все равно не понимаю почему нельзя предел в каждое слагаемое засунуть))

[grizzly]

Bosmer2 в сообщении #1328274 писал(а):

Это примерно $\lim_{n \rightarrow \infty}\infty=\infty$ получается?

Это правильно. Вам просто нужно найти предел последовательности, а последовательность получается стационарная -- каждый элемент равен плюс бесконечности.

А Вам как давали понятие последовательности? если только числовых последовательностей, а не произвольной природы, тогда в задании ошибка. Тем более, что никакие милиционеры здесь не пригодятся, если их самих за уши не притянуть :)