2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство
Сообщение21.07.2018, 13:27 
Аватара пользователя


21/06/18
328
Докажите для неотрицательных $a,b$
$a^{\sqrt{a}}b^{\sqrt{b}}\geqslant(\dfrac{a+b}{2})^{\sqrt{ab}}$
Это – обобщение задачи topic126575.html. Я хотел ее доказать через это неравенство, но за день, что я просидел с ним у меня не вышло ничего путного. Надеюсь, кто-то с ним разберется :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение21.07.2018, 13:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Прологарифмируйте обе части и воспользуйтесь тождеством $AC+BD=\frac{(A+B)(C+D)+(A-B)(C-D)}{2}$, допустив $a \geqslant b.$

(извиняюсь, первое что пришло в голову).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение21.07.2018, 14:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
follow_the_sun в сообщении #1328045 писал(а):
Докажите для неотрицательных $a,b$
$a^{\sqrt{a}}b^{\sqrt{b}}\geqslant(\dfrac{a+b}{2})^{\sqrt{ab}}$
Да просто. Подставляем в уме $a=9, b=4$, получим:
$729\cdot 4^2 < 10^3\cdot 4^3 = 40^3 < 6.5^{6}$.
Следовательно, неравенство не выполняется.

Выше использовано простое правило устного возведения в квадрат двузначных чисел, заканчивающихся на 5.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение21.07.2018, 14:49 
Аватара пользователя


21/06/18
328
grizzly
Да, вы правы. Я проверил для слишком маленьких чисел. Эх, красивое бы доказательство получилось...

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение21.07.2018, 14:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Было бы верно так: $ a^{\sqrt{a}}b^{\sqrt{b}} \geqslant (ab)^{\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}}$. Может ошибка? Хотя, вместо радикалов тогда можно взять пару независимых переменных, и смысла в том немного.

Upd Не совсем так. Для верности неравенства нужно чтобы при большем основании стояла большая степень. Поэтому радикалы как раз уместны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение21.07.2018, 17:56 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Следующее неравенство верно.
Пусть $a$ и $b$ положительны. Докажите, что:
$$ a^{\sqrt{a}}b^{\sqrt{b}} \geqslant \left(\frac{a+b}{2}\right)^{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$
Ваше последнее следует из него.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение21.07.2018, 18:37 
Заслуженный участник


04/05/09
4589
arqady в сообщении #1328095 писал(а):
$$ a^{\sqrt{a}}b^{\sqrt{b}} \geqslant \left(\frac{a+b}{2}\right)^{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$

Это эквивалентно моему:
$$(1+x)^{\sqrt{1+x}}(1-x)^{\sqrt{1-x}}\geqslant 1$$

-- Сб июл 21, 2018 10:51:45 --

arqady в сообщении #1328095 писал(а):
$$ a^{\sqrt{a}}b^{\sqrt{b}} \geqslant \left(\frac{a+b}{2}\right)^{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$
Можно записать так:
$$ a^a b^b \geqslant \left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^{\frac{a+b}2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение21.07.2018, 20:51 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Да, конечно. По-моему, это неравенство уже обсуждалось здесь несколько лет назад.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение22.07.2018, 11:01 
Аватара пользователя


21/06/18
328
venco
venco в сообщении #1328101 писал(а):
$$(1+x)^{\sqrt{1+x}}(1-x)^{\sqrt{1-x}}\geqslant 1$$

Какая область определения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение22.07.2018, 11:08 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
После гомогенизации переменные можно считать любыми положительными.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group