Неравенство

[follow_the_sun]

Докажите для неотрицательных $a,b$
$a^{\sqrt{a}}b^{\sqrt{b}}\geqslant(\dfrac{a+b}{2})^{\sqrt{ab}}$
Это – обобщение задачи topic126575.html. Я хотел ее доказать через это неравенство, но за день, что я просидел с ним у меня не вышло ничего путного. Надеюсь, кто-то с ним разберется

[Andrey A]

Прологарифмируйте обе части и воспользуйтесь тождеством $AC+BD=\frac{(A+B)(C+D)+(A-B)(C-D)}{2}$, допустив $a \geqslant b.$

(извиняюсь, первое что пришло в голову).

[grizzly]

follow_the_sun в сообщении #1328045 писал(а):

Докажите для неотрицательных $a,b$
$a^{\sqrt{a}}b^{\sqrt{b}}\geqslant(\dfrac{a+b}{2})^{\sqrt{ab}}$

Да просто. Подставляем в уме $a=9, b=4$, получим:
$729\cdot 4^2 < 10^3\cdot 4^3 = 40^3 < 6.5^{6}$.
Следовательно, неравенство не выполняется.

Выше использовано простое правило устного возведения в квадрат двузначных чисел, заканчивающихся на 5.

[follow_the_sun]

grizzly
Да, вы правы. Я проверил для слишком маленьких чисел. Эх, красивое бы доказательство получилось...

[Andrey A]

Было бы верно так: $ a^{\sqrt{a}}b^{\sqrt{b}} \geqslant (ab)^{\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}}$. Может ошибка? Хотя, вместо радикалов тогда можно взять пару независимых переменных, и смысла в том немного.

Upd Не совсем так. Для верности неравенства нужно чтобы при большем основании стояла большая степень. Поэтому радикалы как раз уместны.

[arqady]

Следующее неравенство верно.
Пусть $a$ и $b$ положительны. Докажите, что:

$$ a^{\sqrt{a}}b^{\sqrt{b}} \geqslant \left(\frac{a+b}{2}\right)^{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$

Ваше последнее следует из него.

[venco]

arqady в сообщении #1328095 писал(а):

$$ a^{\sqrt{a}}b^{\sqrt{b}} \geqslant \left(\frac{a+b}{2}\right)^{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$

Это эквивалентно моему:

$$(1+x)^{\sqrt{1+x}}(1-x)^{\sqrt{1-x}}\geqslant 1$$

-- Сб июл 21, 2018 10:51:45 --

arqady в сообщении #1328095 писал(а):

$$ a^{\sqrt{a}}b^{\sqrt{b}} \geqslant \left(\frac{a+b}{2}\right)^{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$

Можно записать так:

$$ a^a b^b \geqslant \left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^{\frac{a+b}2}$$

[arqady]

Да, конечно. По-моему, это неравенство уже обсуждалось здесь несколько лет назад.

[follow_the_sun]

venco

venco в сообщении #1328101 писал(а):

$$(1+x)^{\sqrt{1+x}}(1-x)^{\sqrt{1-x}}\geqslant 1$$

Какая область определения?

[arqady]

После гомогенизации переменные можно считать любыми положительными.