Предел от интеграла

[MestnyBomzh]

Добрый день! Могли бы проверить моё решение?
Задача:
Найти

$$\lim_{n \to \infty} \int\limits_{0}^{1} f(x^n) dx$$

, $f$ - непрерывная, вещественная функция
Моё решение:
1) $x^n$ сходится равномерно на $[0;1-\varepsilon], \forall \varepsilon > 0$, $f$ непрерывна, значит и $f(x^n)$ тоже сходится равномерно
2) Заносим предел под интеграл
3) Предельная функция:
4) Интегрируем, получаем $f(0)$

$$\begin{cases} f(0),&\text{если $x \in [0;1)$;}\\ f(1),&\text{если $x=1$;} \end{cases}$$

Вопрос по первому пункту: достаточно ли условия равномерной сходимости на $[0;1-\varepsilon]$ или нет?

[npetric]

1) Равномерной сходимости для $x^n$ на $I_\epsilon = \left[0, 1-\epsilon\right]$ достаточно для равномерной сходимости $f(x^n)$ на нём же
2-4) Нужно использовать оценки интеграла с использованием результата пункта 1, просто так предел под знак интеграла по отрезку $\left[0,1\right]$ нельзя внести. По крайней мере, такой теоремы я не знаю (или вы используете интеграл Лебега?).

[Dan B-Yallay]

MestnyBomzh в сообщении #1327174 писал(а):

1) $x^n$ сходится равномерно на $[0;1-\varepsilon], \forall \varepsilon > 0$,

После этого скорей всего будет разумным разбить на два интеграла: один от нуля до "почти единицы" и, соответственно, второй - по оставшемуся участку. После чего эксплуатировать равномерную сходимость в первом и малость участка интегрирования во втором.

[MestnyBomzh]

Dan B-Yallay
Я верно вас понял, что Вы предлагаете добавить предел по $\varepsilon$ и разбить интеграл на две части?

[Dan B-Yallay]

MestnyBomzh в сообщении #1327204 писал(а):

Я верно вас понял, что Вы предлагаете добавить предел по $\varepsilon$ и разбить интеграл на две части?

Да. Кроме того, кажется, можно даже не добавлять второй предел, если эпсилон сделать зависимым от $n$ хитроумным образом. Хотя не проверял.

[MestnyBomzh]

Dan B-Yallay
Так вот если добавить предел, то я не знаю как объяснить то, что мы можем поменять пределы местами (можем же?)

[Dan B-Yallay]

MestnyBomzh в сообщении #1327306 писал(а):

Так вот если добавить предел, то я не знаю как объяснить то, что мы можем поменять пределы местами (можем же?)

В пределах $x \in [0, 1-\varepsilon)$ можем. потому что имеется равномерная сходимость $f(x^n)$ к $f(0)$. А во втором интеграле, кажется, и менять пределы не понадобится.

(Оффтоп)

И вообще проще было бы привязать $\varepsilon$ к $n$ т.е. так, как я предлагал:

$$\begin{align*} \lim_{n \to \infty}\int\limits_0^1 f(x^n)dx &= \lim_{n \to \infty}\int\limits_0^{1-1/n} f(x^n)dx + \lim_{n \to \infty}\int\limits_{1-1/n}^1 f(x^n)dx= \text{(Теорема о среднем)}= \\ &= \lim_{n \to \infty}\big[f(\xi^n)(1-1/n) + f(\psi^n)\cdot \frac 1 n \big], \quad 0 <\xi < (1-1/n), \ (1-1/n) < \psi < 1 \\ \end{align*} $$

А куда стремится каждое из слагаеных в квадратной скобке -- очевидно.

PS. Надеюсь, бить за решение задачи не будут, так как Вы её решили сами, я всего лишь представил альтернативу.

[mihaild]

(Про привязку к $n$)

$\xi$ формально может быть разной для разных $n$ - гарантируется только $\xi_n \in [0; 1 - \frac{1}{n}]$, так что $\xi_n^n$ имеет право бегать примерно по $[0; \frac{1}{e}]$. Нужно брать что-то медленнее стремящееся к $1$, чтобы $(1 - \varepsilon_n)^n \to 0$.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Ну, может тогда что-то в духе $\varepsilon = \frac 1{\ln n}, \quad n > 3$
Пусть бегает(ют) в промежуткe(кax)

$$\big[ 0, \ \big (\frac 1 e\big)^{\frac{n} {\ln n}}\big]$$

[Otta]

На самом деле, требования задачи довольно мощные, достаточно и меньших, даже в предположении, что про интегралы Лебега никто не знает.

Вспомнился мне такой вариант.

Пусть $f: \mathbb R\to \mathbb R$ непрерывна в нуле.
Вычислить $\lim_{n\to\infty} \int_{[0,1]^n} f(x_1...x_n)dx_1...dx_n$.

[ewert]

Разбивать на два интеграла в любом случае придётся. Но я бы лично предпочёл сначала сделать замену $x^n=t$ -- и потом разбить на $[0;\delta]$ и $[\delta;1]$. Резон: не придётся вытягивать равномерные сходимости из-под функции, а это лишний логический шаг. Но это дело вкуса, конечно.

Конкретные выражения для эпсилонов вредны, конечно (да и бесполезны). Тут нужен стандартный логический приём "эпсилон пополам". И никаких теорем, разумеется.