Сложение и умножение многозначных выражений

[irygaev]

Помогите разобраться со сложением/умножением значений многозначных функций. Возьмём комплексный логарифм:
\operatorname{Ln}(-1) = \pi i + 2\pi ni

Сложение:
\operatorname{Ln}(-1) + \operatorname{Ln}(-1) = \pi i + 2\pi ni + \pi i + 2\pi ki = 2\pi mi
Это значение обращается в ноль при $m = 0$

Умножение:
\operatorname{Ln}(-1)\cdot2 = (\pi i + 2\pi ni)\cdot2 = 2\pi i + 4\pi ni
Не обращается в ноль ни при каком n.

Получается парадоксальный вывод:
\operatorname{Ln}(-1) + \operatorname{Ln}(-1) \ne \operatorname{Ln}(-1)\cdot2

Подозреваю, что сам логарифм тут не при чём, и тот же фокус можно провернуть с любыми другими многозначными функциями. Выходит, фокус кроется в операциях сложения и умножения. Может есть какие-то правила, как ими правильно оперировать с многозначными значениями? Или где я не прав?

Заранее спасибо.

[thething]

irygaev в сообщении #1327038 писал(а):

Получается парадоксальный вывод:
\operatorname{Ln}(-1) + \operatorname{Ln}(-1) \ne \operatorname{Ln}(-1)\cdot2

Ничего парадоксального тут нет. Возьмите пример попроще: $A=\left\lbrace 0,1\right\rbrace$. Тогда чему равно $A+A$ и чему равно $2A$ по определению суммы множеств и умножения множества на число?

[ozheredov]

thething в сообщении #1327041 писал(а):

чему равно $A+A$ и чему равно $2A$

Верно ли (не глядя в интернет ) что сумма множеств это их объединение, а произведение множества и числа -- множество тех же элементов, умноженных на число? Кстати, тогда знак "плюс" вроде бы пишут только тогда, когда множества не пересекаются. И следовательно

$A + A = A$
$2A = [0; 2]$

[thething]

ozheredov в сообщении #1327045 писал(а):

Верно ли (не глядя в интернет ) что сумма множеств это их объединение

Неверно. Это множество, составленное из всевозможных сумм элементов слагаемых.

С умножением на число -- верно.

[irygaev]

thething в сообщении #1327041 писал(а):

Ничего парадоксального тут нет. Возьмите пример попроще: $A=\left\lbrace 0,1\right\rbrace$. Тогда чему равно $A+A$ и чему равно $2A$ по определению суммы множеств и умножения множества на число?

Пример понятен, и вроде всё логично. Смущает, что, получается, в общем случае $x + x \ne 2x$ (если у нас могут встречаться многозначные функции). Хотя мы вроде в явном виде множествами не оперируем.

И более того, выходит, что сложение n раз и умножение на n - это принципиально разные математические операции. А то, что они совпадают для однозначных выражений - это случайность? )

[ozheredov]

thething в сообщении #1327048 писал(а):

множество, составленное из всевозможных сумм элементов слагаемых.

Но тогда в случае сложения тоже получается $[0; 2] = 2A$

[thething]

irygaev в сообщении #1327051 писал(а):

Хотя мы вроде в явном виде множествами не оперируем.

А вот тут уже надо вспомнить определение многозначной функции.

irygaev в сообщении #1327051 писал(а):

И более того, выходит, что сложение n раз и умножение на n - это принципиально разные математические операции.

Для множеств -- да, по определению (в смысле, результаты совпасть не обязаны). Для чисел -- нет, по определению и аксиоматике (тут результаты совпадают).

-- 16.07.2018, 15:53 --

thething в сообщении #1327054 писал(а):

Но тогда в случае сложения тоже получается $[0; 2] = 2A$

Нет, не получается.

[irygaev]

ozheredov в сообщении #1327053 писал(а):

Но тогда в случае сложения тоже получается $[0; 2] = 2A$

Нет, получается $\{0, 1, 2\}$

[ozheredov]

irygaev

А, так у нас множество -- это не интервал, а просто совокупность двух чисел, один и два ноль и один? Вот я дибил