Биквадратная плоская кривая

[Volik]

Доброго всем дня! Может кто подскажет, можно ли на моей плоской биквадратной кривой, на плоскости $(x, y)$, описать все ее рациональные точки
$0= k^4 x^2-k^4 y^2-k^2 x^4+4 k^2 x^2 y^2-4 k^2 y^4+2 k^2 y^2-k^2+x^2-y^2 $
Или, по крайней мере, найти одну такую точку?
Судя по интернету, в общем случае скорее всего нельзя.
Я могу найти на ней все точки, квадраты которых рациональны, но как потом из них найти рациональные?
Заранее благодарен за помощь.

[Vince Diesel]

$(1,1)$, $(k,0)$

[Коровьев]

Volik в сообщении #1326462 писал(а):

Заранее благодарен за помощь.

Надо бы добавить

"Заранее благодарен за помощь в доказательстве существования или не существования полного рационального куббоида"

Так честнее.

[Volik]

Спасибо. Надо было добавить "кроме тривиальных". Можно было бы упомянуть и о совершенном рациональном кубоиде. Хотя я тужился над Эйлеровыми параллелепипедами. Суть не изменится.

[scwec]

Можно сформулировать следующий подход к этой задаче.
Имеем семейство кривых $E_k$ на плоскости $(x,y)$, где $k$ - рациональный параметр.
Вычислять рациональные точки придется на каждой из этих кривых.
Для $|k|=1$ - кривая не эллиптическая и для неё просто находятся все рациональные точки, а именно: $x=(2+2t+t^2)/(-2+t^2), y=(-2-2t)/(-2+t^2)$
или $x=(2+2t+t^2)/(-2+t^2), y=(-2t-t^2)/(-2+t^2)$, где $t$-рациональный параметр.
Для $k=0$ и так всё очевидно.
Для $|k|\ne{0,1}$ все кривые являются эллиптическими.
"Дежурные точки" конечного порядка на каждой из этих кривых - это $|x|=1, |y|=1$, а также $|x|=k,y=0$ и $|x|=1/k,y=0$ и только они (доказывается по Лутц-Нагелю).
Если ранг $E_k$ равен нулю, то кроме "дежурных точек" других рациональных точек на ней нет.
Для $k=2,3,4,5,6,8,9,12,15,16,19,20...$ - рациональные точки - только "дежурные точки";
для $k=7,10,11,13,14,17,18...$ существует бесконечное количество других рациональных точек.
Например, для $k=7$ рациональные точки: $x=707/1343,y=693/1343$, $x=7245296527/26640858089, y=6293770560/26640858089$ и т.д.
Интеллектуальное занятие здесь - доказать, что многоточие бесконечно продолжаемо.

[Volik]

Большое спасибо! Для меня исчерпывающий, но увы, не утешительный вывод. Поскольку по смыслу, $\frac{2 k}{1-k^2}= \pm \frac{c}{b}$ это отношение двух любых сторон параллелепипеда, то вы показали что что для Эйлерова параллелепипеда (a=117, b=240, c=44) с (k=11, k=-1/11) существуют и другие, с таким же соотношением сторон. Множество
таких отношений сторон не соответствуют Эйлеровому параллелепипеду $\frac{2 k}{1-k^2}= (3/4, 9/15, 5/12, 12/35 ...)$.
То есть, мои попытки описать Эйлеровы параллелепипеды как функцию двух его сторон, увы, провалилась!