2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Биквадратная плоская кривая
Сообщение13.07.2018, 12:50 


06/08/17
42
Доброго всем дня! Может кто подскажет, можно ли на моей плоской биквадратной кривой, на плоскости $(x, y)$, описать все ее рациональные точки
$0= k^4 x^2-k^4 y^2-k^2 x^4+4 k^2 x^2 y^2-4 k^2 y^4+2 k^2 y^2-k^2+x^2-y^2 $
Или, по крайней мере, найти одну такую точку?
Судя по интернету, в общем случае скорее всего нельзя.
Я могу найти на ней все точки, квадраты которых рациональны, но как потом из них найти рациональные?
Заранее благодарен за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биквадратная плоская кривая
Сообщение13.07.2018, 13:28 
Заслуженный участник


25/02/11
1598
$(1,1)$, $(k,0)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Биквадратная плоская кривая
Сообщение13.07.2018, 14:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
715
Volik в сообщении #1326462 писал(а):
Заранее благодарен за помощь.

Надо бы добавить

"Заранее благодарен за помощь в доказательстве существования или не существования полного рационального куббоида"

Так честнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биквадратная плоская кривая
Сообщение13.07.2018, 17:26 


06/08/17
42
Спасибо. Надо было добавить "кроме тривиальных". Можно было бы упомянуть и о совершенном рациональном кубоиде. Хотя я тужился над Эйлеровыми параллелепипедами. Суть не изменится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биквадратная плоская кривая
Сообщение14.07.2018, 20:01 
Заслуженный участник


17/09/10
1724
Можно сформулировать следующий подход к этой задаче.
Имеем семейство кривых $E_k$ на плоскости $(x,y)$, где $k$ - рациональный параметр.
Вычислять рациональные точки придется на каждой из этих кривых.
Для $|k|=1$ - кривая не эллиптическая и для неё просто находятся все рациональные точки, а именно: $x=(2+2t+t^2)/(-2+t^2), y=(-2-2t)/(-2+t^2)$
или $x=(2+2t+t^2)/(-2+t^2), y=(-2t-t^2)/(-2+t^2)$, где $t$-рациональный параметр.
Для $k=0$ и так всё очевидно.
Для $|k|\ne{0,1}$ все кривые являются эллиптическими.
"Дежурные точки" конечного порядка на каждой из этих кривых - это $|x|=1, |y|=1$, а также $|x|=k,y=0$ и $|x|=1/k,y=0$ и только они (доказывается по Лутц-Нагелю).
Если ранг $E_k$ равен нулю, то кроме "дежурных точек" других рациональных точек на ней нет.
Для $k=2,3,4,5,6,8,9,12,15,16,19,20...$ - рациональные точки - только "дежурные точки";
для $k=7,10,11,13,14,17,18...$ существует бесконечное количество других рациональных точек.
Например, для $k=7$ рациональные точки: $x=707/1343,y=693/1343$, $x=7245296527/26640858089, y=6293770560/26640858089$ и т.д.
Интеллектуальное занятие здесь - доказать, что многоточие бесконечно продолжаемо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биквадратная плоская кривая
Сообщение15.07.2018, 12:52 


06/08/17
42
Большое спасибо! Для меня исчерпывающий, но увы, не утешительный вывод. Поскольку по смыслу, $\frac{2 k}{1-k^2}= \pm \frac{c}{b}$ это отношение двух любых сторон параллелепипеда, то вы показали что что для Эйлерова параллелепипеда (a=117, b=240, c=44) с (k=11, k=-1/11) существуют и другие, с таким же соотношением сторон. Множество
таких отношений сторон не соответствуют Эйлеровому параллелепипеду $\frac{2 k}{1-k^2}= (3/4, 9/15, 5/12, 12/35 ...)$.
То есть, мои попытки описать Эйлеровы параллелепипеды как функцию двух его сторон, увы, провалилась!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group