Численное решения задачи статической звезды.

[schekn]

Тут решил проверить уравнения для статической звезды - политропы численным методом , но не получилось.

Систему уравнений обезразмеренную без релятивистских поправок взял отсюда:

http://www.astronet.ru/db/msg/1252779/42.html

Уравнения (4.34)

$$\frac{dp}{dx}=-\frac{{\sigma}q}{2x^2} \quad(1)$$

$$\frac{dq}{dr}=4{\pi}r^2{\sigma}\quad(2)$$

$$p=K_{\gamma}{\sigma}^{\gamma} \quad(3)$$

$p(x)$ - аналог давления, $\sigma(x)$ - аналог плотности , $q(x)$ - масса от $0$ до $x$. $x$- аналог координаты $r$.

Краевые условия такие на границе звезды $x=1$ :

$q=1, p=0$

В нуле меня пока они не волнуют. Я интегрирую методом Рунге-Кутта от $x=1$ до нуля с отрицательным шагом.
Буру стандартную политропу $\gamma=5/3$

$$p=\frac{0.424{\sigma}^{5/3}}{(4\pi)^{2/3}}$$

Коды для пакета Максима:

g:x^2*sigma;
f:-q*sigma/x^2
res: rk([g,f],[q,p],[1,0],[x,1,0,-1/n])

Получаю тривиальный результат: $p=0 , q=1$
Если беру давление на границы малое ненулевое, то профиль вырисовывается, но
каждый раз разный в зависимости от давления. Да и в нуле $x=0$ получаю особенность.
Но тогда непонятно, если ли вообще решение с такими граничными условиями , когда
у звезды есть резкая граница. В Астронете и в пособии Иванова В.В. "Физика звезд" говорится, что
решение системы имеется.

Пока чисто математически не могу понять, что не так.
Если вместо уравнения (3) взять просто любое распределение плотности, то Рунге-Кутт
работает и дает теоретически правильный результат.

[Pphantom]

schekn в сообщении #1326669 писал(а):

Систему уравнений обезразмеренную без релятивистских поправок взял отсюда:

Странно Вы их как-то взяли - с неправильными коэффициентами (и ведь у Каплана и Дибая эта система записана, оставалось только переписать)...

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Астрономия»
Причина переноса: тематика.

[schekn]

Pphantom в сообщении #1326679 писал(а):

Странно Вы их как-то взяли - с неправильными коэффициентами (и ведь у Каплана и Дибая эта система записана, оставалось только переписать)...

Почему неправильно? И кто такие Каплан с Дибаем, я не знаю.
У Иванова вроде те же уравнения. (стр. 157)
http://lnfm1.sai.msu.ru/~rastor/Study/I ... fstars.pdf

[Pphantom]

schekn в сообщении #1326683 писал(а):

Почему неправильно?

Потому что не совпадает с правильным.

schekn в сообщении #1326683 писал(а):

И кто такие Каплан с Дибаем, я не знаю.

Авторы книги, с цитирования которой Вы начали.

Собственно, Вы же даже ссылку дали на "уравнения (4.34)". Неужели трудно посмотреть на них внимательно и убедиться, что записали Вы что-то не то?

schekn в сообщении #1326683 писал(а):

У Иванова вроде те же уравнения.

Да, те же, что и у Каплана и Дибая, но не те же, что у Вас (см. систему 1.6 в главе про политропы).

[schekn]

Переписал (правы), у меня $r$ фигурирует от старых вычислений, заменил на $x$.

$$\frac{dp}{dx}=-\frac{{\sigma}q}{x^2} \quad(1)$$

$$\frac{dq}{dx}=x^2{\sigma}\quad(2)$$

$$p=K_{\gamma}{\sigma}^{\gamma} \quad(3)$$

Но результат у меня тот же, просто в программе везде $r$ фигурирует. То есть система с теми граничными условиями не решается (кроме как тривиальным образом).

[Pphantom]

schekn в сообщении #1326685 писал(а):

Но результат у меня тот же, просто в программе везде $r$ фигурирует. То есть система с теми граничными условиями не решается (кроме как тривиальным образом).

Еще раз: сравните записанные Вами уравнения с теми, которые приведены в обоих источниках. Посимвольно.

[schekn]

Исправил. Убрал 2 в знаменателе ..
Но в программе было все правильно.

[Pphantom]

schekn в сообщении #1326690 писал(а):

Исправил. Убрал 2 в знаменателе..

Ура.

Теперь следующий шаг. Вы решаете краевую задачу, не так ли? А если так: можно ли ее решить методом Рунге-Кутты без дополнительных ухищрений?

[schekn]

Pphantom в сообщении #1326692 писал(а):

schekn в сообщении #1326690 писал(а):

Исправил. Убрал 2 в знаменателе..

Ура.

Теперь следующий шаг. Вы решаете краевую задачу, не так ли? А если так: можно ли ее решить методом Рунге-Кутты без дополнительных ухищрений?

Не знаю. Раньше не имел дело с этим методом, но задача с постоянной плотностью звезды с релятивистскими поправками, как у Оппенгеймера-Волкова, решается методом РК и у меня все отлично совпало с теорией. А вот , когда задаешь уравнение состояния, не получается.

[Pphantom]

schekn в сообщении #1326693 писал(а):

Не знаю. Раньше не имел дело с этим методом, но задача с постоянной плотностью звезды с релятивистскими поправками, как у Оппенгеймера-Волкова, решается методом РК и у меня все отлично совпало с теорией. А вот , когда задаешь уравнение состояния, не получается.

М-да.

Ладно. В чем состоит разница между задачей Коши и краевой задачей, Вы знаете?

[schekn]

Pphantom в сообщении #1326695 писал(а):

schekn в сообщении #1326693 писал(а):

Не знаю. Раньше не имел дело с этим методом, но задача с постоянной плотностью звезды с релятивистскими поправками, как у Оппенгеймера-Волкова, решается методом РК и у меня все отлично совпало с теорией. А вот , когда задаешь уравнение состояния, не получается.

М-да.

Ладно. В чем состоит разница между задачей Коши и краевой задачей, Вы знаете?

Задача Коши - я задаю данные функции в точке (если уравнение второго порядка то еще и производную в той же точке. Данную систему можно перевести в уравнение 2-го порядка). Краевые условия - данные на границах отрезка.
В данном конкретном случае я не знаю условия в нуле.

[Pphantom]

schekn в сообщении #1326697 писал(а):

В данном конкретном случае я не знаю условия в нуле.

Правда? Вы не знаете, что $q(0)=0$?

[schekn]

Pphantom в сообщении #1326700 писал(а):

Правда? Вы не знаете, что $q(0)=0$?

Скажем так, для простого случая, который я выписал из учебника, это так. Для уравнений с поправками ОТО я точно не знаю.
А как вы предполагаете решать такую систему ?
Или как она решается обычно теоретиками?

[Pphantom]

schekn в сообщении #1326707 писал(а):

Скажем так, для простого случая, который я выписал из учебника, это так. Для уравнений с поправками ОТО я точно не знаю.

Во-первых, это в любом случае так (просто в силу смысла функции $q(x)$. Во-вторых, забудьте о поправках ОТО, при таких проблемах до них еще очень далеко.

schekn в сообщении #1326707 писал(а):

А как вы предполагаете решать такую систему ?
Или как она решается обычно теоретиками?

Это, как мы уже выяснили, краевая задача. Ваши идеи?