Широкое применение dx

[SomePupil]

В соседней теме обсуждается обозначение приращения $dx.$ Пассажи оттуда:

Solaris86 в сообщении #1326478 писал(а):

Зачем выдумывать новое обозначение просто так? Где логика?

arseniiv в сообщении #1326480 писал(а):

Оно выдумано для более широкого применения.

Вот теперь мне стало любопытно. Что подразумевается под "более широкими применениями"?

[Pphantom]

Пожалуй, оборот был не очень удачным. Проще сказать, что для функции $f(x)=x$ (это же тоже функция, не так ли?) $df=dx=\Delta x$, поэтому одно обозначение можно менять на другое.

[arseniiv]

Сейчас поясню, что имел в виду.

-- Пт июл 13, 2018 16:05:03 --

Я имел в виду некоторые формулы с дифференциалами типа $df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy$ — тут обе переменные-приращения у дифференциалов никак явно не упоминаются, и не нужно никак о них заботиться благодаря $dx$ и $dy$, — и плюс вообще то, что это $dx$ идёт дальше в дифформы, например, и с тем же прозрачным смыслом, что нельзя сказать о чём-то типа $\Delta x$.

-- Пт июл 13, 2018 16:05:27 --

Так что да, не очень хорошо выбрал слово.

[SomePupil]

arseniiv в сообщении #1326491 писал(а):

и плюс вообще то, что это $dx$ идёт дальше в дифформы

Очень интересно! Я знаком только с $dx^i -$ это операторы взятия производной по $i$-ой производной они же $-$ деривации, они же $-$ векторы (!) касательного пространства. А $dx,$ должно быть, что-то похитрее, да?

[arseniiv]

Нет, почему хитрее.

[SomePupil]

Понятно. А я и забыл, что $x, y, z -$ стандартные обозначения координат в $\mathbb R^3.$ Привык к $x_1, x_2, x_3,$ вот и показалось, что $dx$ хитрее.

[nya]

SomePupil в сообщении #1326494 писал(а):

Я знаком только с $dx^i -$ это операторы взятия производной по $i$-ой производной они же $-$ деривации, они же $-$ векторы (!) касательного пространства.

Нет, $dx^i$ это векторы кокасательного пространства, они не действуют на функции, а спариваются с векторными полями. Эти обозначения с $dx^i$ и $d/dx^i$ крайне неудачные и только путают

[SomePupil]

nya в сообщении #1326506 писал(а):

Нет, $dx^i$ это векторы кокасательного пространства, они не действуют на функции, а спариваются с векторными полями.

Пардон, мне казалось, что векторы кокасательного пространства - это $dx_i;$ 1-формы, которые как раз спариваются с векторными полями.

P. S. Впрочем, бог с ними, с обозначениями. Важны только концепты)

[nya]

Либо $dx^i$ и $\frac{\partial}{\partial x^i}$ - плохой вариант, либо просто $\eta_i$ и $\eta^i$ - хороший вариант. Но $dx_i$ и $dx^i$ - это как-то совсем странно

[arseniiv]

nya в сообщении #1326511 писал(а):

Но $dx_i$ и $dx^i$ - это как-то совсем странно

Тоже такого не встречал.

SomePupil в сообщении #1326509 писал(а):

Пардон, мне казалось, что векторы кокасательного пространства - это $dx_i;$ 1-формы, которые как раз спариваются с векторными полями.

Выходит, я вас выше невнимательно прочитал. На карте-то у нас только один набор координат — $x^i$, потому никаких $dx_i$ нет, и 1-формы — это $dx^i$ (как дифференциалы соответствующих скалярных полей $x^i$), а векторы — $\partial/\partial x^i$.

[B@R5uk]

arseniiv в сообщении #1326521 писал(а):

Тоже такого не встречал.

А по другому и не может быть. Дифференциалы координат при смене этих самых координат преобразуются по вполне определённому закону. Поэтому они могут быть только одного типа (не помню только ковариантного или контрвариантного).

[arseniiv]

B@R5uk в сообщении #1326558 писал(а):

А по другому и не может быть.

Да, конечно.

B@R5uk в сообщении #1326558 писал(а):

Поэтому они могут быть только одного типа (не помню только ковариантного или контрвариантного).

Дифференциалы координат — ковариантного, 1-формы же.