2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Широкое применение dx
Сообщение13.07.2018, 13:44 
Аватара пользователя


07/01/15
952
Якутск
В соседней теме обсуждается обозначение приращения $dx.$ Пассажи оттуда:
Solaris86 в сообщении #1326478 писал(а):
Зачем выдумывать новое обозначение просто так? Где логика?

arseniiv в сообщении #1326480 писал(а):
Оно выдумано для более широкого применения.

Вот теперь мне стало любопытно. Что подразумевается под "более широкими применениями"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Широкое применение dx
Сообщение13.07.2018, 13:50 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
15095
Кронштадт
Пожалуй, оборот был не очень удачным. Проще сказать, что для функции $f(x)=x$ (это же тоже функция, не так ли?) $df=dx=\Delta x$, поэтому одно обозначение можно менять на другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Широкое применение dx
Сообщение13.07.2018, 13:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
23401
Уфа
Сейчас поясню, что имел в виду.

-- Пт июл 13, 2018 16:05:03 --

Я имел в виду некоторые формулы с дифференциалами типа $df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy$ — тут обе переменные-приращения у дифференциалов никак явно не упоминаются, и не нужно никак о них заботиться благодаря $dx$ и $dy$, — и плюс вообще то, что это $dx$ идёт дальше в дифформы, например, и с тем же прозрачным смыслом, что нельзя сказать о чём-то типа $\Delta x$.

-- Пт июл 13, 2018 16:05:27 --

Так что да, не очень хорошо выбрал слово.

 Профиль  
                  
 
 Re: Широкое применение dx
Сообщение13.07.2018, 14:21 
Аватара пользователя


07/01/15
952
Якутск
arseniiv в сообщении #1326491 писал(а):
и плюс вообще то, что это $dx$ идёт дальше в дифформы

Очень интересно! Я знаком только с $dx^i -$ это операторы взятия производной по $i$-ой производной они же $-$ деривации, они же $-$ векторы (!) касательного пространства. А $dx,$ должно быть, что-то похитрее, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Широкое применение dx
Сообщение13.07.2018, 14:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
23401
Уфа
Нет, почему хитрее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Широкое применение dx
Сообщение13.07.2018, 14:28 
Аватара пользователя


07/01/15
952
Якутск
Понятно. А я и забыл, что $x, y, z -$ стандартные обозначения координат в $\mathbb R^3.$ Привык к $x_1, x_2, x_3,$ вот и показалось, что $dx$ хитрее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Широкое применение dx
Сообщение13.07.2018, 15:08 


17/04/18
102
SomePupil в сообщении #1326494 писал(а):
Я знаком только с $dx^i -$ это операторы взятия производной по $i$-ой производной они же $-$ деривации, они же $-$ векторы (!) касательного пространства.

Нет, $dx^i$ это векторы кокасательного пространства, они не действуют на функции, а спариваются с векторными полями. Эти обозначения с $dx^i$ и $d/dx^i$ крайне неудачные и только путают

 Профиль  
                  
 
 Re: Широкое применение dx
Сообщение13.07.2018, 15:17 
Аватара пользователя


07/01/15
952
Якутск
nya в сообщении #1326506 писал(а):
Нет, $dx^i$ это векторы кокасательного пространства, они не действуют на функции, а спариваются с векторными полями.

Пардон, мне казалось, что векторы кокасательного пространства - это $dx_i;$ 1-формы, которые как раз спариваются с векторными полями.

P. S. Впрочем, бог с ними, с обозначениями. Важны только концепты)

 Профиль  
                  
 
 Re: Широкое применение dx
Сообщение13.07.2018, 15:22 


17/04/18
102
Либо $dx^i$ и $\frac{\partial}{\partial x^i}$ - плохой вариант, либо просто $\eta_i$ и $\eta^i$ - хороший вариант. Но $dx_i$ и $dx^i$ - это как-то совсем странно

 Профиль  
                  
 
 Re: Широкое применение dx
Сообщение13.07.2018, 16:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
23401
Уфа
nya в сообщении #1326511 писал(а):
Но $dx_i$ и $dx^i$ - это как-то совсем странно
Тоже такого не встречал.

SomePupil в сообщении #1326509 писал(а):
Пардон, мне казалось, что векторы кокасательного пространства - это $dx_i;$ 1-формы, которые как раз спариваются с векторными полями.
Выходит, я вас выше невнимательно прочитал. На карте-то у нас только один набор координат — $x^i$, потому никаких $dx_i$ нет, и 1-формы — это $dx^i$ (как дифференциалы соответствующих скалярных полей $x^i$), а векторы — $\partial/\partial x^i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Широкое применение dx
Сообщение13.07.2018, 19:17 
Аватара пользователя


26/05/12
759
приходит весна?
arseniiv в сообщении #1326521 писал(а):
Тоже такого не встречал.
А по другому и не может быть. Дифференциалы координат при смене этих самых координат преобразуются по вполне определённому закону. Поэтому они могут быть только одного типа (не помню только ковариантного или контрвариантного).

 Профиль  
                  
 
 Re: Широкое применение dx
Сообщение01.08.2018, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
23401
Уфа
B@R5uk в сообщении #1326558 писал(а):
А по другому и не может быть.
Да, конечно.

B@R5uk в сообщении #1326558 писал(а):
Поэтому они могут быть только одного типа (не помню только ковариантного или контрвариантного).
Дифференциалы координат — ковариантного, 1-формы же. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group