2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Груз на резиновом шнуре
Сообщение10.07.2018, 11:25 


12/06/18
37
Здравствуйте. Прошу помочь разобраться в ттом, где я делаю ошибку.
Задача взята из Савченко
Цитата:
♦ 2.3.44. Нерастянутый резиновый шнур длины $2l$ своими концами прикреплен
к стенкам. К середине шнура прицепили груз массы m, который затем без
толчка отпустили. При возникших колебаниях наибольшее расстояние, на которое
опускается груз, равно $x_0$. Какова жесткость этого шнура?

Примерная картинка начального положения груза( так как картинку из самого условия вставить нельзя)
$$\left\lVert----l----[m]----l----\right\rVert$$
Вот моё решение:
ЗСЭ: $0 = -mg x_0 +A_{t}$, где $A_t$ - работа силы натяжения.
Так у нас есть два конца шнура, то сила натяжения будет выглядеть так: $T = 2 k \Delta l \sin\alpha$, где $\alpha$ - угол между шнуром и горизонталью
$\sin\alpha = \frac{x}{l + \Delta l}$, где $x$ - смещение по вертикали (в крайней точке $x = x_0$)
$(l + \Delta l)^2 = x^2 + l^2$ ; $\Delta l = \sqrt{x^2 + l^2} - l$
Сила натяжения будет выглядеть так:
$$T = 2kx(1 - \frac{l}{\sqrt{x^2 + l^2}})$$
Ищу работы этой силы при смещении на $x_0$:
$$A_t = 2k\int\limits_{0}^{x} (x - l \frac{x}{\sqrt{x^2 + l^2}})dx = 2k (\frac{x_0^2}{2} - l\sqrt{x^2 + l^2}) + C = k(x^2 -  2l\sqrt{x^2 + l^2}) + C$$
Ищу константу интегрирования из условия $A_t(0) = 0$:
$$k(0 - 2l\sqrt{0 + l^2}) + C = 0 \Leftrightarrow C = 2kl^2$$
$$ A_t(x_0) = k(x_0^2 - 2l\sqrt{x_0^2 + l^2} + 2l^2) = k(\sqrt{x_0^2 + l^2} - l)^2$$
Подставляя значения работы в ЗСЭ получаю:
$$k = \frac{mgx_0}{(\sqrt{x_0^2 + l^2} - l)^2}$$
Вот только правильный ответ в два раза меньше

 Профиль  
                  
 
 Re: Груз на резиновом шнуре
Сообщение10.07.2018, 11:28 
Заслуженный участник


28/12/12
7739
MakVlad в сообщении #1325627 писал(а):
Вот только правильный ответ в два раза меньше

Если коэффициент жесткости всего шнура $k$, чему равен коэффициент жесткости половинки шнура?

(Оффтоп)

Он равен $2k$.

Замечу, что все можно было сделать гораздо проще, если рассмотреть изменение энергии груза в поле тяжести и упругой энергии растянутого шнура.

 Профиль  
                  
 
 Re: Груз на резиновом шнуре
Сообщение10.07.2018, 11:48 


12/06/18
37
DimaM в сообщении #1325629 писал(а):
Если коэффициент жесткости всего шнура $k$, чему равен коэффициент жесткости половинки шнура?

Ах точно, как это я не заметил!
DimaM в сообщении #1325629 писал(а):
Замечу, что все можно было сделать гораздо проще, если рассмотреть изменение энергии груза в поле тяжести и упругой энергии растянутого шнура.

Да, действительно. Что-то я сразу не сообразил
$$ 0 = -mgx_0 + k_{half}\Delta l^2$$
$$\Delta l = \sqrt{x_0^2 + l^2} - l$$
$$ k_{full} = \frac{k_{half}}{2} = \frac{mgx_0}{2(\sqrt{x_0^2 + l^2} - l)^2}$$
Так значительно проще. Спасибо за помощь

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group