Груз на резиновом шнуре

[MakVlad]

Здравствуйте. Прошу помочь разобраться в ттом, где я делаю ошибку.
Задача взята из Савченко

Цитата:

♦ 2.3.44. Нерастянутый резиновый шнур длины $2l$ своими концами прикреплен
к стенкам. К середине шнура прицепили груз массы m, который затем без
толчка отпустили. При возникших колебаниях наибольшее расстояние, на которое
опускается груз, равно $x_0$. Какова жесткость этого шнура?

Примерная картинка начального положения груза( так как картинку из самого условия вставить нельзя)

$$\left\lVert----l----[m]----l----\right\rVert$$

Вот моё решение:
ЗСЭ: $0 = -mg x_0 +A_{t}$, где $A_t$ - работа силы натяжения.
Так у нас есть два конца шнура, то сила натяжения будет выглядеть так: $T = 2 k \Delta l \sin\alpha$, где $\alpha$ - угол между шнуром и горизонталью
$\sin\alpha = \frac{x}{l + \Delta l}$, где $x$ - смещение по вертикали (в крайней точке $x = x_0$)
$(l + \Delta l)^2 = x^2 + l^2$ ; $\Delta l = \sqrt{x^2 + l^2} - l$
Сила натяжения будет выглядеть так:

$$T = 2kx(1 - \frac{l}{\sqrt{x^2 + l^2}})$$

Ищу работы этой силы при смещении на $x_0$:

$$A_t = 2k\int\limits_{0}^{x} (x - l \frac{x}{\sqrt{x^2 + l^2}})dx = 2k (\frac{x_0^2}{2} - l\sqrt{x^2 + l^2}) + C = k(x^2 - 2l\sqrt{x^2 + l^2}) + C$$

Ищу константу интегрирования из условия $A_t(0) = 0$:

$$k(0 - 2l\sqrt{0 + l^2}) + C = 0 \Leftrightarrow C = 2kl^2$$

$$ A_t(x_0) = k(x_0^2 - 2l\sqrt{x_0^2 + l^2} + 2l^2) = k(\sqrt{x_0^2 + l^2} - l)^2$$

Подставляя значения работы в ЗСЭ получаю:

$$k = \frac{mgx_0}{(\sqrt{x_0^2 + l^2} - l)^2}$$

Вот только правильный ответ в два раза меньше

[DimaM]

MakVlad в сообщении #1325627 писал(а):

Вот только правильный ответ в два раза меньше

Если коэффициент жесткости всего шнура $k$, чему равен коэффициент жесткости половинки шнура?

(Оффтоп)

Он равен $2k$.

Замечу, что все можно было сделать гораздо проще, если рассмотреть изменение энергии груза в поле тяжести и упругой энергии растянутого шнура.

[MakVlad]

DimaM в сообщении #1325629 писал(а):

Если коэффициент жесткости всего шнура $k$, чему равен коэффициент жесткости половинки шнура?

Ах точно, как это я не заметил!

DimaM в сообщении #1325629 писал(а):

Замечу, что все можно было сделать гораздо проще, если рассмотреть изменение энергии груза в поле тяжести и упругой энергии растянутого шнура.

Да, действительно. Что-то я сразу не сообразил

$$ 0 = -mgx_0 + k_{half}\Delta l^2$$

$$\Delta l = \sqrt{x_0^2 + l^2} - l$$

$$ k_{full} = \frac{k_{half}}{2} = \frac{mgx_0}{2(\sqrt{x_0^2 + l^2} - l)^2}$$

Так значительно проще. Спасибо за помощь