Вероятностное пространство

[bubu gaga]

Уважаемые участники! Читаю теорию меры, пытаюсь разобраться, а так я не математик, то даётся это с трудом, и есть сомнения насчёт адекватности моего восприятия. Если не лень, ответьте на вопросы и проверьте пожалуйста, правильно ли я понимаю идею.

Есть какое-то множество омега, где перечисленны все возможные исходы опыта. Элементарных событий может быть бесконечно много. Тогда все они нулевого веса. То есть если какое событие и обладает не нулевым весом, то только неэлементарное.

Мы хотим мерить такие неэлементарные события. У нас есть интуитивное представление о длинне отрезка, которое мы хотим распространить на более сложные подмножества омеги. Мы хотим положительности, инвариантность относительно переноса, субаддитивность, нуля на нулевых подмножествах, совпадение меры на отрезках с их длинной, аддитивности на непересекающихся множествах.

Для теории вероятностей единственно важной оказывается аддитивность. Почему?
Почему счётная?

Потом появляется идея поля на котором определена эта мера. Откуда берётся поле? Ведь если у нас дана мера, то само построение этой меры указывает нам, какие подмножества мы можем мерить. Для этого нет необходимости сверяться с сигма алгеброй? Единственно объяснение которое я для себя придумал, это то, что сигма алгебра это подмножество измеримых подмножеств омеги, для которых у нас есть конкретные значения меры (например как следствие интенсивных экспериментов или наблюдений). То есть мера конечно говорит нам, что мы могли бы мерить, но сигма-алгебра говорит нам, для каких подмножеств у нас есть конкретные значения. Примерно так. Это объяснение придало бы смысл утверждению, что случайные величины генерируют поля. То есть мы как раз наблюдаем отдельные подмножества значений случайной величины, выясняем их вероятности, и присваиваем эти значения мере прообразов в множестве подмножеств омеги. Замыкание по дополнению и сложению это способ распространить такие оцененные вероятности на максимальное количество подмножеств.

Фильтрация. Если у нас омега является множеством многомерных векторов, то информация может приходить по кусочкам. Например мы можем оценить вероятности распределения первой координаты такого вектора, потом второй и т.д. То есть фильтрация - это например увеличение числа приборов в эксперименте?

Самое сложное для меня. В книге дан пример с дискретным броуновским движением, но этот пример меня ставит в тупик. После того как мы сделали два шага, наша сигма алгебра якобы становится шире. Разве не должна она сузиться? Мы отбрасываем кучу элементов омеги как невозможные. Как с точки зрения этой модели происходит перераспределение вероятностей? После того как график прыгнул наверх мы должны по идее обновить наше пространство, выкинуть невозможные состояния и нормировать меру? Интуиция подсказывает мне, что я плохо различаю отдельную реализацию пути и абстракную модель.

Спасибо!
Книги: Mikosch и Capinski

[ewert]

bubu gaga писал(а):

Для теории вероятностей единственно важной оказывается аддитивность. Почему?

Во-первых, не единственно; не менее важны положительность и, между прочим, пропущенная Вами нормировка на единицу. Во-вторых -- да, единственно в том смысле, что, например, инвариантность относительно сдвигов действительно не обязательна. Почему? -- потому, что, с одной стороны, построению теории это не мешает, а с другой -- в практически интересных задачах очень часто просто нет никаких сдвигов.

Цитата:

Почему счётная?

-- потому, что временами приходится делать предельные переходы, а для этого надо иметь возможность манипулировать со счётнами наборами подмножеств.

Цитата:

Элементарных событий может быть бесконечно много. Тогда все они нулевого веса.

Вовсе не обязательно -- только в том случае, если нам по каким-то причинам хочется считать их в каком-нибудь смысле "равновозможными". Практически -- только если их множество есть континуум (ну т.е. не меньше континуума).

Цитата:

Ведь если у нас дана мера, то само построение этой меры указывает нам, какие подмножества мы можем мерить. Для этого нет необходимости сверяться с сигма алгеброй?

На самом деле всё в точности наоборот. С практической точки зрения, "сигма-алгебра" -- это просто отмашка, позволяющая считать теорию корректной. Например, в случае геометрической вероятности вероятностная мера -- это вроде как просто объём, нормированный на единицу (ну или площадь или длина). Но что значит "просто"? Корректно определить объём на всех подмножествах невозможно; надо выделить некоторое семейство подмножеств, на котором мера определена, и это семейство должно обладать свойствами именно сигма-алгебры (для корректности дальнейших построений). Для объема, например, это сводится к его расширению до меры Лебега. Как конкретно вычисляется мера Лебега на произвольных измеримых по Лебегу подмножествах? -- с практической точки зрения это совершенно не важно; существенно лишь, что её (меры) определение непротиворечиво и согласовано с интуитивным понятием объёма.

[Henrylee]

bubu gaga писал(а):

Есть какое-то множество омега, где перечисленны все возможные исходы опыта. Элементарных событий может быть бесконечно много. Тогда все они нулевого веса. То есть если какое событие и обладает не нулевым весом, то только неэлементарное.

Если эл. событий счетное число, то не обязательно.
А вообще под весом Вы что понимаете тут? Меру?

bubu gaga писал(а):

Для теории вероятностей единственно важной оказывается аддитивность. Почему?
Почему счётная?

Что "почему"? Почему "аддитивность"? Почему "единственно"?

bubu gaga писал(а):

Потом появляется идея поля на котором определена эта мера. Откуда берётся поле?

Ведь если у нас дана мера, то само построение этой меры указывает нам, какие подмножества мы можем мерить. Для этого нет необходимости сверяться с сигма алгеброй?

Что значит "сверяться"? Когда Вы строите $\sigma$-аддитивную меру, то последний шаг это продолжение ее на сигма-алгебру, чтобы "можно было мерить много разных событий"

bubu gaga писал(а):

Единственно объяснение которое я для себя придумал, это то, что сигма алгебра это подмножество измеримых подмножеств омеги, для которых у нас есть конкретные значения меры (например как следствие интенсивных экспериментов или наблюдений). То есть мера конечно говорит нам, что мы могли бы мерить, но сигма-алгебра говорит нам, для каких подмножеств у нас есть конкретные значения.

С точностью до наоборот. $\sigma$-алгебры - класс подмножеств с определенными конкретными свойствами. От меры она никак не зависит. Это уже потом на ней определяют меру. И таким образом мы можем события из этой сигма-алгеьры мерить этой мерой.

bubu gaga писал(а):

Примерно так. Это объяснение придало бы смысл утверждению, что случайные величины генерируют поля. То есть мы как раз наблюдаем отдельные подмножества значений случайной величины, выясняем их вероятности, и присваиваем эти значения мере прообразов в множестве подмножеств омеги. Замыкание по дополнению и сложению это способ распространить такие оцененные вероятности на максимальное количество подмножеств.

И опять все наоборот. "Наблюдая подмножество занчений случ. величины", мы никак не сможем найти его вероятность, не имея меры в $\Omega$. Считая вероятность попадания с.в. в какое-нибудь борелевское множество, мы берем его прообраз, который попадает аккурат в нашу сигма-алгебру. И значение вероятности для этого прообраза уже известно.

bubu gaga писал(а):

Фильтрация. Если у нас омега является множеством многомерных векторов, то информация может приходить по кусочкам. Например мы можем оценить вероятности распределения первой координаты такого вектора, потом второй и т.д. То есть фильтрация - это например увеличение числа приборов в эксперименте?

Фильтрация опять же возникает раньше, чем мера. Это просто семейство вложенных сигма-алгебр. Например при увеличении числа случ. величин (или координат случ. вектора как отображения из $\Omega$ в линейное пространство) сигма-алгебра прообразов урезанных сл. векторов расширяется

bubu gaga писал(а):

Самое сложное для меня. В книге дан пример с дискретным броуновским движением, но этот пример меня ставит в тупик. После того как мы сделали два шага, наша сигма алгебра якобы становится шире. Разве не должна она сузиться?

Это Вы по какую конкретно сигма-алгебру говорите? Если про ту, что порождается двумя сл. вел. (на первых двух шагах), то она конечно расшириться, так как событий, в которых участвуют 2 с.в. больше, чем событий с участием одной.

bubu gaga писал(а):

Мы отбрасываем кучу элементов омеги как невозможные. Как с точки зрения этой модели происходит перераспределение вероятностей? После того как график прыгнул наверх мы должны по идее обновить наше пространство, выкинуть невозможные состояния и нормировать меру?

В общем случае что-то в этом роде. Точнее говоря, перейти к условной мере.
Если конкретно про винеровский процесс говорим, то из любой его точки (даже в случайный в определенном смысле момент времени) выходит такой же винеровский процесс (смещенный только).

Не знаю правильно ли я Вас понял, как получилось так пока и ответил.

[bubu gaga]

ewert писал(а):

надо выделить некоторое семейство подмножеств, на котором мера определена, и это семейство должно обладать свойствами именно сигма-алгебры (для корректности дальнейших построений).

То есть вероятностное пространоство предъявляет слишком мало требований к множеству подмножеств и сигма алгебра ограничивает область определения для меры? Насколько я понял для внешней меры m* мы ограничиваем множество определения потому как на некоторых подмножествах пропадает аддитивность. И это противоречит интуитивной идее вероятности, то есть если мы разбили событие без пересечений, то доли положительных исходов должны в сумме должны быть 1.

Для внешней меры лебега максимальное поле это множество измеримых по лебегу функций. Его можно укоротить до борелевского множества, потому что разница между этими полями в нулевых множествах? Для чего нужна полнота (т.е. подмножества нулевых множеств должны быть в поле)? Не нашёл ни в одной книге какой-либо мотивации для её необходимости.

Как выглядит большая картина? Допустим у нас есть эксперимент. Мы знаем возможные исходы, но не знаем вероятности. Проводим эксперимены или оценки из исторических данных. Они дают нам плотность распределения. Измеримость множеств становиться нашим пропуском к интегралам лебега?

Случайные величины. Свойство случайной величины как измеримой функции даёт нам возможность вычислять вероятности всех измеримих множеств в области определения случайной величины, то есть по сути выводить из одного вероятностного пространства другое?

Спасибо за отклик

[PAV]

bubu gaga писал(а):

То есть вероятностное пространоство предъявляет слишком мало требований к множеству подмножеств

Вообще никаких требований не предъявляет. Вероятностное пространство может быть совершенно любым.

Добавлено спустя 1 минуту 37 секунд:

bubu gaga писал(а):

Для чего нужна полнота (т.е. подмножества нулевых множеств должны быть в поле)? Не нашёл ни в одной книге какой-либо мотивации для её необходимости.

В теории случайных процессов, когда вероятностное пространство становится еще более сложным, это становится важным.

Добавлено спустя 3 минуты 4 секунды:

bubu gaga писал(а):

Свойство случайной величины как измеримой функции даёт нам возможность вычислять вероятности всех измеримих множеств в области определения случайной величины, то есть по сути выводить из одного вероятностного пространства другое?

Если мы имеем дело со случайной величиной $X=X(\omega)$, то весьма естественно пожелать, чтобы множество $\{\omega:X(\omega)<x\}$ а также другие подобные были бы событиями, т.е. чтобы у них существовала вероятность. В противном случае мы вообще мало что сможем сказать об этой случайной величине в терминах вероятности.

[ewert]

bubu gaga писал(а):

Для внешней меры лебега максимальное поле это множество измеримых по лебегу функций. Его можно укоротить до борелевского множества, потому что разница между этими полями в нулевых множествах? Для чего нужна полнота (т.е. подмножества нулевых множеств должны быть в поле)? Не нашёл ни в одной книге какой-либо мотивации для её необходимости.

Я по-другому скажу. А почему бы и нет? нуль-полнота меры -- весчь в любом случае полезная, так почему бы её и не добиться, раз уж это даётся почти что даром.

------------------------------------------------------------------------------
("даром" в том смысле, что лебеговская мера -- штука, в общем, конструктивная, в то время как борелевская -- уже некая абстракция)

[bubu gaga]

Уважаемый Henrylee, спасибо за ответы. К моему сожалению я работаю с математикой не получив математического образования. Для таких людей как я пишут либо книги готовых математических рецептов, либо ничего вообще. Я пытаюсь разобраться с теорией вероятностей, а так как с формальным мышлением не особо дружу, то должен хвататься за геометрические и физические аналогии. Это к тому, что конечно в моих высказываниях ещё долго (если не всегда) будут ляпы и неточности.

Henrylee писал(а):

Фильтрация опять же возникает раньше, чем мера. Это просто семейство вложенных сигма-алгебр. Например при увеличении числа случ. величин (или координат случ. вектора как отображения из \Omega в линейное пространство) сигма-алгебра прообразов урезанных сл. векторов расширяется

Сигма алгебра это множество событий. Допустим опять винеровский процесс. До того как что либо случилось, почему фильтрация содержит только два события (омега и пустое множество)? Как это можно интерпретировать? Это не единственные события которые мы можем мерить. Это не единственные события которые возможны. Почему именно эти два?Продолжите предложение: Фильтрация в момент t = 0 содержит только эти два подмножества, потому что только они (их, у них)....?

Потом происходит скачок, допустим наверх. Для вычислений мы ограничиваем омегу, и нормируем меру, то есть производим новое вероятностное пространство. Фильтрация содержит четыре элемента \emptyset, \Omega, A, A^c, где А - это множество путей у которых первым шагом был скачок наверх. Опять же я в тупике. Дополните предложение: Фильтрация в t = 1 содержит эти четыре элемента, потому что именно для они (их, из них, у них) ...? Почему мы всё ещё говорим про A и его комплемент? Ведь вероятность А после такого скачка равна 1, а вероятность комплемента соответственно нулю.

Спасибо за отзыв.

[Henrylee]

bubu gaga писал(а):

Случайные величины. Свойство случайной величины как измеримой функции даёт нам возможность вычислять вероятности всех измеримих множеств в области определения случайной величины,

Точнее в области значений.

bubu gaga писал(а):

то есть по сути выводить из одного вероятностного пространства другое?

Фактически да. Измеримое отображение вер. простр-ва порождает новое вер. пространство.

Добавлено спустя 10 минут 31 секунду:

Про полноту. Вот Вам практическая польза: последовательность измеримых функций $\mu$-почти наверное сходится к функции, измеримой относительно расширенной (по $\mu$) $\sigma$-алгебры. В то же время относительно непополненной сигма-алгебры предельная функция измеримой быть не обязана.

bubu gaga писал(а):

Сигма алгебра это множество событий. Допустим опять винеровский процесс. До того как что либо случилось, почему фильтрация содержит только два события (омега и пустое множество)? Как это можно интерпретировать? Это не единственные события которые мы можем мерить. Это не единственные события которые возможны. Почему именно эти два?Продолжите предложение: Фильтрация в момент t = 0 содержит только эти два подмножества, потому что только они (их, у них)....?

(Так Вы о про естественную фильтрацию винеровского порцесса? Тут просто) ....так как ВП начинается в нуле, то есть $W_0$ есть константа (0). А наименьшая $\sigma$-алгебра, относительно которой измерима константа - есть тривиальная (т.е. $(\emptyset,\Omega$))

Добавлено спустя 3 минуты 1 секунду:

Естеств. фильтрация в момент $t$ порождается течением процесса на отрезке $[0,t]$. А наш процесс пока состоит из одной константы.

[PAV]

Удобно мыслить естественную фильтрацию как множество тех событий, связанных с процессом (утверждений о процессе), о которых мы уже знаем к текущему моменту времени. В начальный момент, когда мы только достоверно знаем значение процесса в нуле, любое наше утверждение об этих значениях процесса будет либо достоверным, либо невозможным. Отсюда и возникает тривиальная сигма-алгебра.

(Естественная фильтрация - это минимальная сигма-алгебра, что прямо запрещает ее "искусственное" увеличение).

[Henrylee]

bubu gaga писал(а):

Потом происходит скачок, допустим наверх. Для вычислений мы ограничиваем омегу, и нормируем меру, то есть производим новое вероятностное пространство.

Если рассмативаете конкретную реализацию процесса (на этом этапе), то это одно, а если сам процесс, то к новому порстранству не переходите и, как Вы и написали:

bubu gaga писал(а):

Фильтрация содержит четыре элемента \emptyset, \Omega, A, A^c, где А - это множество путей у которых первым шагом был скачок наверх.

Здесь идет речь обо всех событиях, о которых можно что-то сказать к моменту времени 1. А не только о тех, что случились в конкретной реализации.
Конкретно сказать можно ровно следующее:
1. невозможно, что процесс не начинается в нуле ($\emptyset$)
2. достоверно, что процесс начинается в нуле ($\Omega$)
3. на первом шаге процесс может пойти как вверх ($A$)
4. ... так и вниз ($A^c$)

[bubu gaga]

PAV писал(а):

(Естественная фильтрация - это минимальная сигма-алгебра, что прямо запрещает ее "искусственное" увеличение).

Получается что естественная фильтрация - это множетсво категорических высказываний к моменту t (либо-либо). Если в момент t, мы зададим вопрос: а не принадлежит ли наблюдаемая реализация событию A, то если A \in F_t ответ будет либо да, либо нет. Из категорических высказываний можно делать только такие же категорические высказывания путём логических операций над высказываниями. "И" в области высказываний трансформируется в пересечение событий, "ИЛИ" в объединение, "НЕ" в комплемент. То есть любая комбинация множеств даст нам подмножество омеги относительно которого так же можно сделать однозначное высказывание. То есть множество наблюдаемых к моменту t событий является сигма-алгеброй.

Правильно я понимаю, что фильтрация говорит нам о эволюции вероятностного пространства со временем? Если нет, то в чём её смысл?

Следующий вопрос я даже боюсь задавать, что такое неестественная фильтрация?

[PAV]

bubu gaga писал(а):

Получается что естественная фильтрация - это множетсво категорических высказываний к моменту t (либо-либо).

В некотором смысле да. Это такие события, связанные с процессом, что к моменту времени $t$ мы можем точно сказать, произошло ли это событие в данной реализации процесса или нет.

Добавлено спустя 2 минуты 7 секунд:

bubu gaga писал(а):

Правильно я понимаю, что фильтрация говорит нам о эволюции вероятностного пространства со временем?

Наверное, можно сказать и так.

Добавлено спустя 4 минуты 58 секунд:

bubu gaga писал(а):

Следующий вопрос я даже боюсь задавать, что такое неестественная фильтрация?

Если память мне не изменяет, то вообще термин "фильтрация" означает расширяющуюся со временем последовательность сигма-алгебр (точнее, не сужающуюся). Это можно мыслить себе как некий временной процесс, который привносит нам некоторую информацию о событиях. И есть понятие "естественная фильтрация, связанная со случайным процессом", когда эти события строятся по имеющемуся у нас объекту "случайный процесс".

[Henrylee]

bubu gaga писал(а):

Правильно я понимаю, что фильтрация говорит нам о эволюции вероятностного пространства со временем? Если нет, то в чём её смысл?

Я бы сказал, что фильтрация говорит нам об эволюции набора измеримых событий, которые могли бы случится к данному моменту.

bubu gaga писал(а):

Следующий вопрос я даже боюсь задавать, что такое неестественная фильтрация?

Ну это слово вроде бы не используют. Любая другая фильтрация такая, что нужный нам набор сл. вел. измерим относительно нужного нам элемента фильтрации. Можно, например, искусственно увеличить каждую сигма-алгебру естественной фильтрации (чтобы сохранилось включение)

[bubu gaga]

Henrylee писал(а):

Я бы сказал, что фильтрация говорит нам об эволюции набора измеримых событий, которые могут случится.

Я так понял, что когда множество омега содержит многомерные элементы, то описание фильтрации даётся, чтобы показать, что в конкретных реализациях элементы выпадают не сразу в полном обличии, а покомпонентно. То есть с одной стороны из фильтрации мы узнаём, когда реализуются конкретные компоненты, с другой стороны как будет выглядеть наша мера в отдельные моменты времени (то есть после нормирования по вероятности случившегося).

То есть если F_1 = \{ \emptyset, \Omega, A, A^c \}, то с одной стороны в момент времени t = 1 мы можем будем с уверенностью сказать, случилось ли А или нет. С другой стороны мы знаем, что мера наша будет либо m / P(A), либо m / P(A^c), а поле будет \Sigma_1 = \{ A \cap E : E \in \Sigma_0 \}

[Henrylee]

В таком случае, если Вы переходите к новому вероятностному пространству, то и исходная фильтрация тоже претерпит изменения. Хотя если меняется только мера.. тогда нет... но, конечно, $\Omega$ точно не меняется.

Добавлено спустя 6 минут 54 секунды:

bubu gaga писал(а):

Я так понял, что когда множество омега содержит многомерные элементы, то описание фильтрации даётся, чтобы показать, что в конкретных реализациях элементы выпадают не сразу в полном обличии, а покомпонентно. То есть с одной стороны из фильтрации мы узнаём, когда реализуются конкретные компоненты, с другой стороны как будет выглядеть наша мера в отдельные моменты времени (то есть после нормирования по вероятности случившегося).

А примерчик приведете, где это было бы видно? Вот к этой фразе, например. "в кокретных реализациях элементы выпадают не сразу, а покомпонентно"
А то я что-то суть высказывания улавливаю с трудом.