Вычисление определителя nxn

[Tiberium]

Необходимо вычислить определитель:

$$ \qquad \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & \alpha & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \alpha & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & \alpha \\ \end{vmatrix} ​$$​

Кажется, что здесь можно применить метод рекуррентных соотношений. Получается:

$ \Delta_{n} = \alpha \cdot \Delta_{n}-\Delta_{n-2}$

Теперь, по идее, надо решить рекуррентное уравнение относительно $\alpha$ и найти коэффициенты $C_1$ и $C_2$. Проблема в том, что корни не красивые, а в ответе какая-то эстетика. Может, я в принципе неправильный метод выбрал.

[thething]

Tiberium в сообщении #1325150 писал(а):

Кажется, что здесь можно применить метод рекуррентных соотношений. Получается:

$ \Delta_{n} = \alpha \cdot \Delta_{n}-\Delta_{n-2}$

Кажется, тут ошибка и должно быть $\alpha\cdot\Delta_{n-1}$

Ну и можете попробовать метод производящих функций натравить. Правда, красоты что-то не предвидится, еще и от значений альфа зависит вид ответа.

Да и через характеристическое уравнение красоты что-то не выходит.

[dsge]

Может матрицу LU разложить и определитель представить как произведение определителей?

[Tiberium]

thething в сообщении #1325157 писал(а):

Кажется, тут ошибка и должно быть $\alpha\cdot\Delta_{n-1}$

Ну и можете попробовать метод производящих функций натравить. Правда, красоты что-то не предвидится, еще и от значений альфа зависит вид ответа.

Да и через характеристическое уравнение красоты что-то не выходит.

Да,я опечатался - должно было быть: $\Delta_{n} = \alpha \cdot \Delta_{n-1}-\Delta{n-2}$

И характеристическое уравнение получается так себе.

[Someone]

Tiberium в сообщении #1325169 писал(а):

И характеристическое уравнение получается так себе.

Начхайте и записывайте, что получилось. Или Вы рассчитываете эту иррациональность обойти? Не надейтесь.
Там ещё и дискриминант может быть любого знака.

[thething]

Someone в сообщении #1325175 писал(а):

Там ещё и дискриминант может быть любого знака.

Думаю, можно рассмотреть только практически важный случай -- диагонального преобладания, в конце концов, зачем еще такие определители нужны?

[Someone]

thething в сообщении #1325177 писал(а):

в конце концов, зачем еще такие определители нужны?

В качестве учебной задачи. И в таком качестве задача требует разбора всех возможных случаев.

[thething]

Тогда ТС не позавидуешь.. Хотя, судя по этим словам

Tiberium в сообщении #1325150 писал(а):

в ответе какая-то эстетика

ТС знает что-то, чего я не знаю, или не вижу. Не приведёте эстетику?

[amon]

thething в сообщении #1325177 писал(а):

в конце концов, зачем еще такие определители нужны?

Например, такой (подобный) определитель появляется при расчете гармонического осциллятора методом функционального интегрирования.

[Otta]

thething в сообщении #1325177 писал(а):

зачем еще такие определители нужны?

При вычислении собственных значений оператора, например.

[Tiberium]

thething в сообщении #1325183 писал(а):

ТС знает что-то, чего я не знаю, или не вижу. Не приведёте эстетику?

С эстетикой я, вероятно, погорячился. Но все равно к такому виду привести я бы не догадался. Есть ещё вариация задания, где вместо альфы $2\cos{\alpha}$. Там вообще нужно было увидеть, что определитель равен $ \frac{\sin{n\alpha}}{\sin{\alpha}}$.

[thething]

Ну, это Вам надо будет свой ответ, который с корнями "упростить", т.е. привести к общему знаменателю и в числителе использовать бином Ньютона. Что характерно, корни действительно уходят и из числителя и из знаменателя.

-- 09.07.2018, 08:16 --

А в случае с косинусом там решения характеристического уравнения хорошие, мнимые экспоненты.

[Tiberium]

thething в сообщении #1325304 писал(а):

Ну, это Вам надо будет свой ответ, который с корнями "упростить", т.е. привести к общему знаменателю и в числителе использовать бином Ньютона. Что характерно, корни действительно уходят и из числителя и из знаменателя.

-- 09.07.2018, 08:16 --

А в случае с косинусом там решения характеристического уравнения хорошие, мнимые экспоненты.

Да, спасибо. Меня настолько шокировало характеристическое уравнение, что я даже не пытался его преобразовывать.

А с косинусом там действительно все симпатичнее, как оказалось, выходит: корни характеристического уравнения - $e^{i\alpha}$ и $e^{-i\alpha}$.

[thething]

(Оффтоп)

Я бы на трезвую голову вообще не стал приводить ответ к такому виду. Оставил бы с корнями, как есть.

[Tiberium]

thething в сообщении #1325333 писал(а):

(Оффтоп)

Я бы на трезвую голову вообще не стал приводить ответ к такому виду. Оставил бы с корнями, как есть.

(Оффтоп)

Мне просто интересно, если бы на экзамене ответ был оставлен с корнями, поставили бы за такое решение максимальный балл?