Рассеяние легкого иона тяжелым нейтральным атомом

[fred1996]

Пусть у нас из бесконечности летит ион с нерелятивистской скоростью $ v_0$ заряда $q$ и массы $m$ и налетает на атом массы $M>>m$ с коэффициентом поляризации $\alpha $. Это значит в присутствии электрического поля (в данном случае созданного налетающим ионом) наш атом превращается в электрический диполь с электрическим моментом $\vec{p}=\alpha \vec{E}$.
Пусть прицельный параметр будет $b$.
1. Найти минимальное расстояние сближения иона с атомом
2. Показать что при каких-то значениях прицельного параметра ион начнет вращаться по спирали и в конце концов упадет на атом. Найти это граничное критическое значение.
Всеми эффектами излучения пренебречь.

[mihiv]

Считаем атом бесконечно тяжелым и поместим его в начало координат. Сила, действующая на ион равна:$\vec F=q\vec E_{dip}=-\dfrac {2q^2\alpha \vec r}{r^6}, \vec E_{dip}-$поле наведенного диполя. Таким образом мы пришли к задаче о движении частицы массы $m$ в центральном поле с потенциальной энергией $U(r)=-\dfrac {\alpha q^2}{2r^4}.$ Границы движения по радиусу стандартным образом определяются условием: $U_{eff}=W$, или $-\dfrac {\alpha q^2}{2r^4}+\dfrac {L^2}{2mr^2}=W\qquad (1)$, где сохраняющиеся энергия и угловой момент иона равны соответственно :$W=\dfrac {mv_0^2}2, L=mv_0b.$
Эффективная потенциальная энергия $U_{eff}(r)$ стремится к $-\infty $ при $r\to 0$ и к $+0$ при $r\to \infty $ и имеет максимум при некотором $r_0$. Решая уравнение (1) относительно $r^2$, получим:

$$r_{min}^2=\frac {b^2}2\left (1+\sqrt {1-\dfrac {4\alpha q^2}{mv_0^2b^4}}\right )\qquad (2)$$

Падение на центр произойдет, когда выражение под корнем в формуле (2) станет <0, т.е. при $b<\sqrt [4]{\dfrac {4\alpha q^2}{mv_0^2}}.$ В действительности падения на центр не будет, т.к. на малых расстояниях от нейтрального атома его поле уже не будет полем диполя.

[fred1996]

mihiv
Легки на помине.
Только сейчас подумал, как там дела с этой задачкой. И тут ваше решение.
Ну да, конечно, задачка достаточно стандартная на поля центральных сил, но требует некоторого освежения в памяти процедуры. Эта задачка из международной олимпиады где-то десятилетней давности.