2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 L2 пространство случайных величин
Сообщение05.07.2018, 11:06 


14/04/18
7
Добрый день. Возник такой странный вопрос по основам ТВ, не хватает интуитивного понимания.

Пускай у нас есть вероятностное пространство $(S, F, P)$. Рассмотрим семейство случайных величин: $S \rightarrow K$, где $K$ какое-то другое множество (например, множество действительных чисел $R$), где задано скалярное произведение. Определим теперь пространство V квадратично интегрируемых случайных величин как все случайные величины из этого семейства, но с конечной дисперсией. Зададим скалярное произведение в V следующим образом для двух случайных величин $f$, $g$:
$<f, g>_V = \int <f, g>_K dP$

Альтернативная запись:

Рассматриваем те же случайные величины. Определим скалярное произведение так:
$<f, g>_V = E[<f, g>_K] = \int <f, g>_k p(f, g) df dg$
Это есть, например, здесь (с. 14): http://www-stat.wharton.upenn.edu/~stin ... ilbert.pdf

Чего я не очень понимаю: в альтернативной записи у нас появилась новая сущность $p(f, g)$, т.е. совместная плотность распределения. Есть ли какой-то простой способ ее вычислить, зная явный вид отображений $f$ и $g$?
В принципе, мы любые две случ. величины можем рассматривать как отображения из некоего абстрактного пр-ва $S$, но вот интересно, если бы мы знали само это пр-во и отображения $f$, $g$, то как можно было бы выразить $p(f, g)$ через них?

Буду благодарен за указание направлений, куда смотреть.

 Профиль  
                  
 
 Re: L2 пространство случайных величин
Сообщение05.07.2018, 11:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
А если бы вам надо было найти вероятность события вида $\{x<f<x+\Delta x,y<g<y+\Delta y\}$, что бы вы делали? Для плотности просто надо перейти к пределу отношения.

 Профиль  
                  
 
 Re: L2 пространство случайных величин
Сообщение05.07.2018, 12:07 


14/04/18
7
alisa-lebovski в сообщении #1324542 писал(а):
А если бы вам надо было найти вероятность события вида $\{x<f<x+\Delta x,y<g<y+\Delta y\}$, что бы вы делали? Для плотности просто надо перейти к пределу отношения.


Спасибо за ответ.

Т.е. в простом пример когда исходное пространство это куб $V$ в $R^n$ и мера = объем, а случайные величины $f, g$ лежат в $R$ получается так?

$$ p(f, g) = \lim_{\triangle_f,  \triangle_g \rightarrow 0} \frac{\int_V 1_{f(v) \in [f, f+\triangle_f] \cup g(v) \in [g, g+\triangle_g]} dv}{\triangle_f \triangle_g} $$

 Профиль  
                  
 
 Re: L2 пространство случайных величин
Сообщение05.07.2018, 13:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
Ну да, только там пересечение, а не объединение.

 Профиль  
                  
 
 Re: L2 пространство случайных величин
Сообщение05.07.2018, 14:21 


14/04/18
7
alisa-lebovski в сообщении #1324599 писал(а):
Ну да, только там пересечение, а не объединение.


Точно. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K, YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group