L2 пространство случайных величин

[dd210]

Добрый день. Возник такой странный вопрос по основам ТВ, не хватает интуитивного понимания.

Пускай у нас есть вероятностное пространство $(S, F, P)$. Рассмотрим семейство случайных величин: $S \rightarrow K$, где $K$ какое-то другое множество (например, множество действительных чисел $R$), где задано скалярное произведение. Определим теперь пространство V квадратично интегрируемых случайных величин как все случайные величины из этого семейства, но с конечной дисперсией. Зададим скалярное произведение в V следующим образом для двух случайных величин $f$, $g$:
$<f, g>_V = \int <f, g>_K dP$

Альтернативная запись:

Рассматриваем те же случайные величины. Определим скалярное произведение так:
$<f, g>_V = E[<f, g>_K] = \int <f, g>_k p(f, g) df dg$
Это есть, например, здесь (с. 14): http://www-stat.wharton.upenn.edu/~stin ... ilbert.pdf

Чего я не очень понимаю: в альтернативной записи у нас появилась новая сущность $p(f, g)$, т.е. совместная плотность распределения. Есть ли какой-то простой способ ее вычислить, зная явный вид отображений $f$ и $g$?
В принципе, мы любые две случ. величины можем рассматривать как отображения из некоего абстрактного пр-ва $S$, но вот интересно, если бы мы знали само это пр-во и отображения $f$, $g$, то как можно было бы выразить $p(f, g)$ через них?

Буду благодарен за указание направлений, куда смотреть.

[alisa-lebovski]

А если бы вам надо было найти вероятность события вида $\{x<f<x+\Delta x,y<g<y+\Delta y\}$, что бы вы делали? Для плотности просто надо перейти к пределу отношения.

[dd210]

alisa-lebovski в сообщении #1324542 писал(а):

А если бы вам надо было найти вероятность события вида $\{x<f<x+\Delta x,y<g<y+\Delta y\}$, что бы вы делали? Для плотности просто надо перейти к пределу отношения.

Спасибо за ответ.

Т.е. в простом пример когда исходное пространство это куб $V$ в $R^n$ и мера = объем, а случайные величины $f, g$ лежат в $R$ получается так?

$$ p(f, g) = \lim_{\triangle_f, \triangle_g \rightarrow 0} \frac{\int_V 1_{f(v) \in [f, f+\triangle_f] \cup g(v) \in [g, g+\triangle_g]} dv}{\triangle_f \triangle_g} $$

[alisa-lebovski]

Ну да, только там пересечение, а не объединение.

[dd210]

alisa-lebovski в сообщении #1324599 писал(а):

Ну да, только там пересечение, а не объединение.

Точно. Спасибо.