Положительно-определенные матрицы

[DLL]

Рассмотрим матрицу вида $X = A^{T} A$. Она положительно-определенная.
Все ли положительно-определенные матрицы исчерпываются таким видом?

[Aritaborian]

(О терминологии)

«Положительно определённая», без дефиса.

[arseniiv]

Посмотрите третий пункт в этом перечислении.

-- Вт июл 03, 2018 07:22:12 --

Этому можно придать инвариантный вид, но без скалярного произведения никак, потому что если $A\colon V\to W$, то $A^t\colon W^*\to V^*$, и для их композиции требуется некое линейное отображение $W\to W^*$. Если взять порождаемое скалярным произведением на $W$ отображение опускания индекса $\flat$, всё сойдётся:

$$(A^t\; \flat\; A)_{ij} \equiv X_{ij} = A^k{}_i\; g_{k \ell}\; A^\ell{}_j.$$

Симметричность и, далее, положительная определённость $g$ влекут то же для $X$ независимо от свойств $A$ — это прозрачно в индексной записи. Интересующее же вас утверждение — то, что для любых $X$ и $g$ найдётся $A$, чтобы выполнялось равенство — вы можете показать по аналогии с изложенным по ссылке.

[arseniiv]

Не, я наврал про «независимо от свойств $A$», конечно — $A$ не должен иметь нетривиального ядра. А наврал потому что перепутал в голове строгое неравенство для ненулевых векторов с нестрогим для всех.

[ewert]

DLL в сообщении #1324073 писал(а):

Все ли положительно-определенные матрицы исчерпываются таким видом?

Все неотрицательные (и к тому же симметричные, раз случай вещественный). Но такое их представление, разумеется, отнюдь не единственно.

[Евгений Машеров]

Обычное определение положительной определённости предполагает эрмитовость. И тогда всегда такое представление есть. Иногда рассматривают обобщение $x^TMx>0$ безотносительно к симметричности M, тогда не получится.

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #1324179 писал(а):

Обычное определение положительной определённости предполагает эрмитовость.

Эрмитовость -- не предполагает. Т.к. в комплексном случае эрмитовость следует из знакоопределённости (и, следовательно, вещественности) квадратичной формы. А вот в вещественных пространствах симметричность матрицы приходится требовать дополнительно.